TY - THES A1 - Ruppert, Markus T1 - Wege der Analogiebildung - Eine qualitative Studie über den Prozess der Analogiebildung beim Lösen von Aufgaben T1 - Ways of Analogical Reasoning - A study of thought processes in example-based learning environments N2 - Über die besondere Bedeutung von Analogiebildungsprozessen beim Lernen im Allgemeinen und beim Lernen von Mathematik im Speziellen besteht ein breiter wissenschaftlicher Konsens. Es liegt deshalb nahe, von einem lernförderlichen Mathematikunterricht zu verlangen, dass er im Bewusstsein dieser Bedeutung entwickelt ist – dass er also einerseits Analogien aufzeigt und sich diese beim Lehren von Mathematik zunutze macht, dass er andererseits aber auch dem Lernenden Gelegenheiten bietet, Analogien zu erkennen und zu entwickeln. Kurz: Die Fähigkeit zum Bilden von Analogien soll durch den Unterricht gezielt gefördert werden. Um diesem Anspruch gerecht werden zu können, müssen ausreichende Kenntnisse darüber vorliegen, wie Analogiebildungsprozesse beim Lernen von Mathematik und beim Lösen mathematischer Aufgaben ablaufen, wodurch sich erfolgreiche Analogiebildungsprozesse auszeichnen und an welchen Stellen möglicherweise Schwierigkeiten bestehen. Der Autor zeigt auf, wie Prozesse der Analogiebildung beim Lösen mathematischer Aufgaben initiiert, beobachtet, beschrieben und interpretiert werden können, um auf dieser Grundlage Ansatzpunkte für geeignete Fördermaßnahmen zu identifizieren, bestehende Ideen zur Förderung der Analogiebildungsfähigkeit zu beurteilen und neue Ideen zu entwickeln. Es werden dabei Wege der Analogiebildung nachgezeichnet und untersucht, die auf der Verschränkung zweier Dimensionen der Analogiebildung im Rahmen des zugrundeliegenden theoretischen Modells beruhen. So können verschiedene Vorgehensweisen ebenso kontrastiert werden, wie kritische Punkte im Verlauf eines Analogiebildungsprozesses. Es ergeben sich daraus Unterrichtsvorschläge, die auf den Ideen zum beispielbasierten Lernen aufbauen. N2 - The epistemological relevance of analogical reasoning in learning and education in general is undoubted. Particularly in applying mathematical contents and techniques learning from examples is essential. Therefore mathematics lessons should provide opportunities to gain and improve competences in analogical reasoning. To meet these demands it is necessary to fathom the thought processes throughout analogical reasoning: How can succesful thought processes be characterized? At which point do misleading analogies fail? The author shows how thought processes of analogical reasoning can be initialized, observed, described and interpreted. Based on this theoretical background ways of analogical reasoning are retraced and analyzed in order to identify different approaches to analogies and critical phases of corresponding thought processes. Using these findings important features of appropriate learning environments are stated and existing concepts can be evaluated. KW - Analogie KW - Problemlösen KW - Analogiebildung KW - example based learning KW - Problemlösen KW - beispielsbasiertes Lernen Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-155910 N1 - Eine inhaltlich identische gedruckte Fassung der Arbeit ist unter gleichem Titel im WTM-Verlag erschienen. ER - TY - THES A1 - Steck, Daniel T1 - Lagrange Multiplier Methods for Constrained Optimization and Variational Problems in Banach Spaces T1 - Lagrange-Multiplier-Verfahren für Restringierte Optimierung und Variationsprobleme in Banach-Räumen N2 - This thesis is concerned with a class of general-purpose algorithms for constrained minimization problems, variational inequalities, and quasi-variational inequalities in Banach spaces. A substantial amount of background material from Banach space theory, convex analysis, variational analysis, and optimization theory is presented, including some results which are refinements of those existing in the literature. This basis is used to formulate an augmented Lagrangian algorithm with multiplier safeguarding for the solution of constrained optimization problems in Banach spaces. The method is analyzed in terms of local and global convergence, and many popular problem classes such as nonlinear programming, semidefinite programming, and function space optimization are shown to be included as special cases of the general setting. The algorithmic framework is then extended to variational and quasi-variational inequalities, which include, by extension, Nash and generalized Nash equilibrium problems. For these problem classes, the convergence is analyzed in detail. The thesis then presents a rich collection of application examples for all problem classes, including implementation details and numerical results. N2 - Die vorliegende Arbeit handelt von einer Klasse allgemein anwendbarer Verfahren zur Lösung restringierter Optimierungsprobleme, Variations- und Quasi-Variationsungleichungen in Banach-Räumen. Zur Vorbereitung wird eine erhebliche Menge an Grundmaterial präsentiert. Dies beinhaltet die Theorie von Banach-Räumen, konvexe und variationelle Analysis sowie Optimierungstheorie. Manche der angegebenen Resultate sind hierbei Verfeinerungen der entsprechenden Ergebnisse aus der Literatur. Im Anschluss wird ein Augmented-Lagrange-Verfahren für restingierte Optimierungsprobleme in Banach-Räumen präsentiert. Der Algorithmus wird hinsichtlich lokaler und globaler Konvergenz untersucht, und viele typische Problemklassen wie nichtlineare Programme, semidefinite Programme oder Optimierungsprobleme in Funktionenräumen werden als Spezialfälle aufgezeigt. Der Algorithmus wird dann auf Variations- und Quasi-Variationsungleichungen verallgemeinert, wodurch implizit auch (verallgemeinerte) Nash-Gleichgewichtsprobleme abgehandelt werden. Für diese Problemklassen werden eigene Konvergenzanalysen betrieben. Die Dissertation beinhaltet zudem eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsbeispielen und zugehörigen numerischen Ergebnissen. KW - Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - Variationsungleichung KW - Banach-Raum KW - Quasi-Variational Inequality KW - Generalized Nash Equilibrium Problem KW - Quasi-Variationsungleichung KW - Verallgemeinertes Nash-Gleichgewichtsproblem Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-174444 ER - TY - THES A1 - Forster, Johannes T1 - Variational Approach to the Modeling and Analysis of Magnetoelastic Materials T1 - Variationeller Zugang zu Modellierung und Analysis Magnetoelastischer Materialien N2 - This doctoral thesis is concerned with the mathematical modeling of magnetoelastic materials and the analysis of PDE systems describing these materials and obtained from a variational approach. The purpose is to capture the behavior of elastic particles that are not only magnetic but exhibit a magnetic domain structure which is well described by the micromagnetic energy and the Landau-Lifshitz-Gilbert equation of the magnetization. The equation of motion for the material’s velocity is derived in a continuum mechanical setting from an energy ansatz. In the modeling process, the focus is on the interplay between Lagrangian and Eulerian coordinate systems to combine elasticity and magnetism in one model without the assumption of small deformations. The resulting general PDE system is simplified using special assumptions. Existence of weak solutions is proved for two variants of the PDE system, one including gradient flow dynamics on the magnetization, and the other featuring the Landau-Lifshitz-Gilbert equation. The proof is based on a Galerkin method and a fixed point argument. The analysis of the PDE system with the Landau-Lifshitz-Gilbert equation uses a more involved approach to obtain weak solutions based on G. Carbou and P. Fabrie 2001. N2 - Die vorliegende Doktorarbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Modellierung magnetoelastischer Materialien und der Analysis von Systemen partieller Differentialgleichungen für diese Materialien. Die Herleitung der partiellen Differentialgleichungen erfolgt mittels eines variationellen Zugangs. Ziel ist es, das Verhalten elastischer Teilchen zu beschreiben, welche nicht nur magnetisch sind, sondern sich durch eine magnetische Domänenstruktur auszeichnen. Diese Struktur wird beschrieben durch die mikromagnetische Energie und die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung der Magnetisierung. Die Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit des Materials ist in einem kontinuumsmechanischen Setting von einer Energiegleichung abgeleitet. In der Modellierung liegt der Fokus auf dem Zusammenspiel von Lagrange’schen und Euler’schen Koordinaten, um Elastizität und Magnetismus in einem Modell zu kombinieren. Dies geschieht ohne die Annahme kleiner Deformationen. Das resultierende allgemeine System partieller Differentialgleichungen wird durch spezielle Annahmen vereinfacht und es wird die Existenz von schwachen Lösungen gezeigt. Der Beweis wird für zwei Varianten des Differentialgleichungssystems geführt. Das erste System enthält die Beschreibung der Dynamik der Magnetisierung mittels Gradientenfluss, im zweiten wird die Dynamik mittels Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung beschrieben. Schlüsselidee des Beweises ist ein Galerkin-Ansatz, kombiniert mit einem Fixpunkt-Argument. Zum Beweis der Existenz schwacher Lösungen des Systems mit Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung wird eine aufwändigere Methode herangezogen, welche auf einer Arbeit von G. Carbou und P. Fabrie aus 2001 beruht. KW - Magnetoelastizität KW - Mikromagnetismus KW - Mathematische Modellierung KW - Galerkin-Methode KW - Differentialgleichungssystem KW - Partielle Differentialgleichungen KW - Existenz schwacher Lösungen KW - PDEs KW - Mathematical modeling KW - Calculus of variations Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-147226 ER - TY - JOUR A1 - Schindele, Andreas A1 - Borzì, Alfio T1 - Proximal Methods for Elliptic Optimal Control Problems with Sparsity Cost Functional JF - Applied Mathematics N2 - First-order proximal methods that solve linear and bilinear elliptic optimal control problems with a sparsity cost functional are discussed. In particular, fast convergence of these methods is proved. For benchmarking purposes, inexact proximal schemes are compared to an inexact semismooth Newton method. Results of numerical experiments are presented to demonstrate the computational effectiveness of proximal schemes applied to infinite-dimensional elliptic optimal control problems and to validate the theoretical estimates. KW - semismooth Newton method KW - optimal control KW - elliptic PDE KW - nonsmooth optimization KW - proximal method Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-145850 VL - 7 IS - 9 ER - TY - INPR A1 - Breitenbach, Tim A1 - Borzì, Alfio T1 - On the SQH scheme to solve non-smooth PDE optimal control problems T2 - Numerical Functional Analysis and Optimization N2 - A sequential quadratic Hamiltonian (SQH) scheme for solving different classes of non-smooth and non-convex PDE optimal control problems is investigated considering seven different benchmark problems with increasing difficulty. These problems include linear and nonlinear PDEs with linear and bilinear control mechanisms, non-convex and discontinuous costs of the controls, L\(^1\) tracking terms, and the case of state constraints. The SQH method is based on the characterisation of optimality of PDE optimal control problems by the Pontryagin's maximum principle (PMP). For each problem, a theoretical discussion of the PMP optimality condition is given and results of numerical experiments are presented that demonstrate the large range of applicability of the SQH scheme. KW - SQH method KW - non-smooth optimization KW - Pontryagin maximum principle KW - nonconvex optimization Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-180936 N1 - This is an Accepted Manuscript of an article published by Taylor & Francis in Numerical Functional Analysis and Optimization on 27.04.2019, available online: http://www.tandfonline.com/10.1080/01630563.2019.1599911. ER - TY - THES A1 - Sapozhnikova, Kateryna T1 - Robust Stability of Differential Equations with Maximum T1 - Robuste Stabilität von Differenzialgleichungen mit Maximum N2 - In this thesis stability and robustness properties of systems of functional differential equations which dynamics depends on the maximum of a solution over a prehistory time interval is studied. Max-operator is analyzed and it is proved that due to its presence such kind of systems are particular case of state dependent delay differential equations with piecewise continuous delay function. They are nonlinear, infinite-dimensional and may reduce to one-dimensional along its solution. Stability analysis with respect to input is accomplished by trajectory estimate and via averaging method. Numerical method is proposed. N2 - In dieser These werden die Eigenschaften der Stabilität und Robustheit von Systemen funktioneller Differentialgleichungen untersucht, deren Dynamik von einem Maximum in der Lösung eines vergangenen Zeitintervalls abhängt. Der Max-Operator wird analysiert und durch seine Anwesenheit ist bewiesen, dass diese Art von Systemen einen spezifischen Fall von zustandsabhängigen Verzögerungsdifferenzialgleichungen mit stückweiser, kontinuierlicher Verzögerungsfunktion darstellen. Sie sind nicht-linear, unendlich dimensional und entlang ihrer Lösung können sie eindimensional werden. Die Stabilitätsanalyse, unter Berücksichtigung der Eingabe, wird sowohl durch eine Richtungsschätzung, als auch mittels der Durchschnittsmethode durchgeführt. Eine numerische Methode wird vorgeschlagen. KW - Functional differential equations KW - Nonlinear systems KW - Stability KW - Differentialgleichung KW - Nichtlineares System KW - Stabilität Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-173945 ER - TY - THES A1 - Gaviraghi, Beatrice T1 - Theoretical and numerical analysis of Fokker-Planck optimal control problems for jump-diffusion processes T1 - Theoretische und numerische Analyse von Fokker-Planck Optimalsteuerungsproblemen von Sprung-Diffusions-Prozessen N2 - The topic of this thesis is the theoretical and numerical analysis of optimal control problems, whose differential constraints are given by Fokker-Planck models related to jump-diffusion processes. We tackle the issue of controlling a stochastic process by formulating a deterministic optimization problem. The key idea of our approach is to focus on the probability density function of the process, whose time evolution is modeled by the Fokker-Planck equation. Our control framework is advantageous since it allows to model the action of the control over the entire range of the process, whose statistics are characterized by the shape of its probability density function. We first investigate jump-diffusion processes, illustrating their main properties. We define stochastic initial-value problems and present results on the existence and uniqueness of their solutions. We then discuss how numerical solutions of stochastic problems are computed, focusing on the Euler-Maruyama method. We put our attention to jump-diffusion models with time- and space-dependent coefficients and jumps given by a compound Poisson process. We derive the related Fokker-Planck equations, which take the form of partial integro-differential equations. Their differential term is governed by a parabolic operator, while the nonlocal integral operator is due to the presence of the jumps. The derivation is carried out in two cases. On the one hand, we consider a process with unbounded range. On the other hand, we confine the dynamic of the sample paths to a bounded domain, and thus the behavior of the process in proximity of the boundaries has to be specified. Throughout this thesis, we set the barriers of the domain to be reflecting. The Fokker-Planck equation, endowed with initial and boundary conditions, gives rise to Fokker-Planck problems. Their solvability is discussed in suitable functional spaces. The properties of their solutions are examined, namely their regularity, positivity and probability mass conservation. Since closed-form solutions to Fokker-Planck problems are usually not available, one has to resort to numerical methods. The first main achievement of this thesis is the definition and analysis of conservative and positive-preserving numerical methods for Fokker-Planck problems. Our SIMEX1 and SIMEX2 (Splitting-Implicit-Explicit) schemes are defined within the framework given by the method of lines. The differential operator is discretized by a finite volume scheme given by the Chang-Cooper method, while the integral operator is approximated by a mid-point rule. This leads to a large system of ordinary differential equations, that we approximate with the Strang-Marchuk splitting method. This technique decomposes the original problem in a sequence of different subproblems with simpler structure, which are separately solved and linked to each other through initial conditions and final solutions. After performing the splitting step, we carry out the time integration with first- and second-order time-differencing methods. These steps give rise to the SIMEX1 and SIMEX2 methods, respectively. A full convergence and stability analysis of our schemes is included. Moreover, we are able to prove that the positivity and the mass conservation of the solution to Fokker-Planck problems are satisfied at the discrete level by the numerical solutions computed with the SIMEX schemes. The second main achievement of this thesis is the theoretical analysis and the numerical solution of optimal control problems governed by Fokker-Planck models. The field of optimal control deals with finding control functions in such a way that given cost functionals are minimized. Our framework aims at the minimization of the difference between a known sequence of values and the first moment of a jump-diffusion process; therefore, this formulation can also be considered as a parameter estimation problem for stochastic processes. Two cases are discussed, in which the form of the cost functional is continuous-in-time and discrete-in-time, respectively. The control variable enters the state equation as a coefficient of the Fokker-Planck partial integro-differential operator. We also include in the cost functional a $L^1$-penalization term, which enhances the sparsity of the solution. Therefore, the resulting optimization problem is nonconvex and nonsmooth. We derive the first-order optimality systems satisfied by the optimal solution. The computation of the optimal solution is carried out by means of proximal iterative schemes in an infinite-dimensional framework. N2 - Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der theoretischen und numerischen Analyse von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Gleichungen von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Unsere Strategie baut auf der Formulierung eines deterministischen Problems auf, um einen stochastischen Prozess zu steuern. Der Ausgangspunkt ist, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Prozesses zu betrachten, deren zeitliche Entwicklung durch die Fokker-Planck-Gleichung modelliert wird. Dieser Ansatz ist vorteilhaft, da er es ermöglicht, den gesamten Bereich des Prozesses durch die Wirkung der Steuerung zu beeinflussen. Zuerst beschäftigen wir uns mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Wir definieren Ausgangswertprobleme, die durch stochastische Differentialgleichungen beschrieben werden, und präsentieren Ergebnisse zur Existenz und Eindeutigkeit ihrer Lösungen. Danach diskutieren wir, wie numerische Lösungen stochastischer Probleme berechnet werden, wobei wir uns auf die Euler-Maruyama-Methode konzentrieren. Wir wenden unsere Aufmerksamkeit auf Sprung-Diffusions-Modelle mit zeit- und raumabhängigen Koeffizienten und Sprüngen, die durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess modelliert sind. Wir leiten die zugehörigen Fokker-Planck-Glei-chungen her, die die Form von partiellen Integro-Differentialgleichungen haben. Ihr Differentialterm wird durch einen parabolischen Operator beschrieben, während der nichtlokale Integraloperator Spr\"{u}nge modelliert. Die Ableitung wird auf zwei unterschiedlichen Arten ausgef\"{u}hrt, je nachdem, ob wir einen Prozess mit unbegrenztem oder beschränktem Bereich betrachten. In dem zweiten Fall muss das Verhalten des Prozesses in der Nähe der Grenzen spezifiziert werden; in dieser Arbeit setzen wir reflektierende Grenzen. Die Fokker-Planck-Gleichung, zusammen mit einem Anfangswert und geeigneten Randbedingungen, erzeugt das Fokker-Planck-Problem. Die Lösbarkeit dieses Pro-blems in geeigneten Funktionenräumen und die Eigenschaften dessen Lösung werden diskutiert, nämlich die Positivität und die Wahrscheinlichkeitsmassenerhaltung. Da analytische Lösungen von Fokker-Planck-Problemen oft nicht verfügbar sind, m\"{u}ssen numerische Methoden verwendet werden. Die erste bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die Definition und Analyse von konservativen numerischen Verfahren, die Fokker-Planck-Probleme lösen. Unsere SIMEX1 und SIMEX2 (Splitting-Implizit-Explizit) Schemen basieren auf der Linienmethode. Der Differentialoperator wird durch das Finite-Volumen-Schema von Chang und Cooper diskretisiert, während der Integraloperator durch eine Mittelpunktregel angenähert wird. Dies führt zu einem großen System von gewöhnlichen Differentialgleichungen, das mit der Strang-Marchuk-Splitting-Methode gelöst wird. Diese Technik teilt das ursprüngliche Problem in eine Folge verschiedener Teilprobleme mit einer einfachen Struktur, die getrennt gelöst werden und danach durch deren Anfangswerte miteinander verbunden werden. Dank der Splitting-Methode kann jedes Teilproblem implizit oder explizit gelöst werden. Schließlich wird die numerische Integration des Anfangswertsproblems mit zwei Verfahren durchgeführt, n\"{a}mlich dem Euler-Verfahren und dem Predictor-Corrector-Verfahren. Eine umfassende Konvergenz- und Stabilitätsanalyse unserer Systeme ist enthalten. Darüber hinaus können wir beweisen, dass die Positivität und die Massenerhaltung der Lösung von Fokker-Planck-Problemen auf diskreter Ebene durch die numerischen Lösungen erfüllt werden, die mit den SIMEX-Schemen berechnet wurden. Die zweite bemerkenswerte Leistung dieser Arbeit ist die theoretische Analyse und die numerische Behandlung von Optimalsteuerungsproblemen, deren Nebenbedingungen die Fokker-Planck-Probleme von Sprung-Diffusions-Prozessen sind. Der Bereich der optimalen Steuerung befasst sich mit der Suche nach einer optimalen Funktion, die eine gegebene Zielfunktion minimiert. Wir zielen auf die Minimierung des Unterschieds zwischen einer bekannten Folge von Werten und dem ersten Moment eines Sprung-Diffusions-Prozesses. Auf diese Weise kann unsere Formulierung auch als ein Parameterschätzungsproblem für stochastische Prozesse angesehen werden. Zwei Fälle sind erläutert, in denen die Zielfunktion zeitstetig beziehungsweise zeitdiskret ist. Da die Steuerung ein Koeffizient des Integro-Differentialoperators der Zustandsglei-chung ist und die Zielfunktion einen $ L^1 $-Term beinhaltet, der die dünne Besetzung der Lösung erhöht, ist das Optimierungsproblem nichtkonvex und nichtglatt. Die von der optimalen L\"{o}sung erf\"{u}llten notwendigen Bedingungen werden hergeleitet, die man mit einem System beschreiben kann. Die Berechnung optimaler Lösungen wird mithilfe von Proximal-Methoden durchgeführt, die entsprechend um den unendlichdimensionalen Fall erweitert wurden. KW - Numerical analysis KW - Fokker-Planck KW - optimal control problems KW - jump-diffusion processes KW - Fokker-Planck-Gleichung KW - Optimale Kontrolle Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-145645 ER - TY - THES A1 - Tichy, Diana T1 - On the Fragility Index T1 - Über den Fragilitätsindex N2 - The Fragility Index captures the amount of risk in a stochastic system of arbitrary dimension. Its main mathematical tool is the asymptotic distribution of exceedance counts within the system which can be derived by use of multivariate extreme value theory. Thereby the basic assumption is that data comes from a distribution which lies in the domain of attraction of a multivariate extreme value distribution. The Fragility Index itself and its extension can serve as a quantitative measure for tail dependence in arbitrary dimensions. It is linked to the well known extremal index for stochastic processes as well the extremal coefficient of an extreme value distribution. N2 - Der Fragilitätsindex erfasst das Risiko des Zusammenbruchs eines stochastischen Systems beliebiger Dimension. Wesentlicher Baustein dieser mathematischen Größe ist dabei die asymptotische Verteilung der Überschreitungsanzahl innerhalb des stochastischen Systems. Die Herleitung basiert auf wesentlichen Erkenntnissen aus der multivariaten Extremwerttheorie. Die Hauptannahme besteht darin, dass Realisationen einer Zufallsgröße von einer Verteilung erzeugt werden, welche im Anziehungsbereich einer multivariaten Extremwertverteilung liegt. Der Fragilitätsindex und seine Erweiterung stellen ein quantitatives Maß beliebiger Dimension für Abhängigkeiten zwischen extremen Ereignissen dar. Er steht dabei in direkter Verbindung zum Extremalindex für stochastische Prozesse und zum Extremalkoeffizienten für Extremwertverteilungen. KW - Extremwertstatistik KW - Stochastisches System KW - Fragilitätsindex KW - Extremwerttheorie KW - Abhängigkeitsmaß KW - Überschreitungsanzahl KW - Fragility Index KW - tail dependence KW - extreme value theory KW - exceedance counts KW - extremal coefficient Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-73610 ER - TY - THES A1 - Hofmann, Martin T1 - Contributions to Extreme Value Theory in the Space C[0,1] T1 - Beiträge zur Extremwerttheorie im Raum C[0,1] N2 - We introduce some mathematical framework for extreme value theory in the space of continuous functions on compact intervals and provide basic definitions and tools. Continuous max-stable processes on [0,1] are characterized by their “distribution functions” G which can be represented via a norm on function space, called D-norm. The high conformity of this setup with the multivariate case leads to the introduction of a functional domain of attraction approach for stochastic processes, which is more general than the usual one based on weak convergence. We also introduce the concept of “sojourn time transformation” and compare several types of convergence on function space. Again in complete accordance with the uni- or multivariate case it is now possible to get functional generalized Pareto distributions (GPD) W via W = 1 + log(G) in the upper tail. In particular, this enables us to derive characterizations of the functional domain of attraction condition for copula processes. Moreover, we investigate the sojourn time above a high threshold of a continuous stochastic process. It turns out that the limit, as the threshold increases, of the expected sojourn time given that it is positive, exists if the copula process corresponding to Y is in the functional domain of attraction of a max-stable process. If the process is in a certain neighborhood of a generalized Pareto process, then we can replace the constant threshold by a general threshold function and we can compute the asymptotic sojourn time distribution. N2 - Es wird ein Zugang zur Extremwerttheorie auf dem Raum C[0,1] gegeben. Nach Charakterisierung und Analyse standard max-stabiler Prozesse, wird ein "funktionaler Anziehungsbereich" für standard max-stabile Prozesse vorgeschlagen, der allgemeiner ist als der übliche, der mittels schwacher Konvergenz definiert wird. Schließlich werden Verweildauern stetiger Prozesse über hohen Schwellenwerten betrachtet. KW - Extremwertstatistik KW - stochastischer Prozess KW - Extremwerttheorie KW - extreme value theory KW - stochastic processes KW - functional D-norm Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-74405 ER - TY - RPRT A1 - Englert, Stefan T1 - Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 6.0) N2 - Mathematica ist ein hervorragendes Programm um mathematische Berechnungen – auch sehr komplexe – auf relativ einfache Art und Weise durchführen zu lassen. Dieses Skript soll eine wirklich kurze Einführung in Mathematica geben und als Nachschlagewerk einiger gängiger Anwendungen von Mathematica dienen. Dabei wird folgende Grobgliederung verwendet: - Grundlagen: Graphische Oberfläche, einfache Berechnungen, Formeleingabe - Bedienung: Vorstellung einiger Kommandos und Einblick in die Funktionsweise - Praxis: Beispielhafte Berechnung einiger Abitur- und Übungsaufgaben KW - Anwendungssoftware KW - Angewandte Mathematik KW - Lineare Algebra KW - Analysis KW - Mathematica Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-70275 N1 - Vor-Version des Titels Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 8.0) http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:20-opus-70287 ER - TY - RPRT A1 - Englert, Stefan T1 - Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 8.0) N2 - Mathematica ist ein hervorragendes Programm um mathematische Berechnungen – auch sehr komplexe – auf relativ einfache Art und Weise durchführen zu lassen. Dieses Skript soll eine wirklich kurze Einführung in Mathematica geben und als Nachschlagewerk einiger gängiger Anwendungen von Mathematica dienen. Dabei wird folgende Grobgliederung verwendet: - Grundlagen: Graphische Oberfläche, einfache Berechnungen, Formeleingabe - Bedienung: Vorstellung einiger Kommandos und Einblick in die Funktionsweise - Praxis: Beispielhafte Berechnung einiger Abitur- und Übungsaufgaben KW - Anwendungssoftware KW - Angewandte Mathematik KW - Lineare Algebra KW - Analysis KW - Mathematica Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-70287 N1 - aktualisierte Version des Titels Mathematica in 15 Minuten (Mathematica Version 6.0) urn:nbn:de:bvb:20-opus-70275 ER - TY - THES A1 - Dreves, Axel T1 - Globally Convergent Algorithms for the Solution of Generalized Nash Equilibrium Problems T1 - Global konvergente Algorithmen zur Lösung von verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblemen N2 - Es werden verschiedene Verfahren zur Lösung verallgemeinerter Nash-Gleichgewichtsprobleme mit dem Schwerpunkt auf deren globaler Konvergenz entwickelt. Ein globalisiertes Newton-Verfahren zur Berechnung normalisierter Lösungen, ein nichtglattes Optimierungsverfahren basierend auf einer unrestringierten Umformulierung des spieltheoretischen Problems, und ein Minimierungsansatz sowei eine Innere-Punkte-Methode zur Lösung der gemeinsamen Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen der Spieler werden theoretisch untersucht und numerisch getestet. Insbesondere das Innere-Punkte Verfahren erweist sich als das zur Zeit wohl beste Verfahren zur Lösung verallgemeinerter Nash-Gleichgewichtsprobleme. N2 - In this thesis different algorithms for the solution of generalized Nash equilibrium problems with the focus on global convergence properties are developed. A globalized Newton method for the computation of normalized solutions, a nonsmooth algorithm based on an optimization reformulation of the game-theoretic problem, and a merit function approach and an interior point method for the solution of the concatenated Karush-Kuhn-Tucker-system are analyzed theoretically and numerically. The interior point method turns out to be one of the best existing methods for the solution of generalized Nash equilibrium problems. KW - Nash-Gleichgewicht KW - Nichtglatte Optimierung KW - Innere-Punkte-Methode KW - Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen KW - Spieltheorie KW - Generalized Nash Equilibrium Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-69822 ER - TY - THES A1 - Mauder, Markus T1 - Time-Optimal Control of the Bi-Steerable Robot: A Case Study in Optimal Control of Nonholonomic Systems T1 - Zeitoptimale Steuerung des zweiachsgelenkten Roboters: Eine Fallstudie zur optimalen Steuerung nichtholonomer Systeme N2 - In this thesis, time-optimal control of the bi-steerable robot is addressed. The bi-steerable robot, a vehicle with two independently steerable axles, is a complex nonholonomic system with applications in many areas of land-based robotics. Motion planning and optimal control are challenging tasks for this system, since standard control schemes do not apply. The model of the bi-steerable robot considered here is a reduced kinematic model with the driving velocity and the steering angles of the front and rear axle as inputs. The steering angles of the two axles can be set independently from each other. The reduced kinematic model is a control system with affine and non-affine inputs, as the driving velocity enters the system linearly, whereas the steering angles enter nonlinearly. In this work, a new approach to solve the time-optimal control problem for the bi-steerable robot is presented. In contrast to most standard methods for time-optimal control, our approach does not exclusively rely on discretization and purely numerical methods. Instead, the Pontryagin Maximum Principle is used to characterize candidates for time-optimal solutions. The resultant boundary value problem is solved by optimization to obtain solutions to the path planning problem over a given time horizon. The time horizon is decreased and the path planning is iterated to approximate a time-optimal solution. An optimality condition is introduced which depends on the number of cusps, i.e., reversals of the driving direction of the robot. This optimality condition allows to single out non-optimal solutions with too many cusps. In general, our approach only gives approximations of time-optimal solutions, since only normal regular extremals are considered as solutions to the path planning problem, and the path planning is terminated when an extremal with minimal number of cusps is found. However, for most desired configurations, normal regular extremals with the minimal number of cusps provide time-optimal solutions for the bi-steerable robot. The convergence of the approach is analyzed and its probabilistic completeness is shown. Moreover, simulation results on time-optimal solutions for the bi-steerable robot are presented. N2 - In dieser Dissertation wird die zeitoptimale Steuerung des zweiachsgelenkten Roboters behandelt. Der zweiachsgelenkte Roboter, ein Fahrzeug mit zwei voneinander unabhängig lenkbaren Achsen, ist ein komplexes nichtholonomes System mit Anwendungen in vielen Bereichen der Land-Robotik. Bahnplanung und optimale Steuerung sind anspruchsvolle Aufgaben für dieses System, da Standardverfahren hierfür nicht anwendbar sind. Das hier betrachtete Modell des zweiachsgelenkten Roboters ist ein reduziertes kinematisches Modell mit der Fahrgeschwindigkeit und den Lenkwinkeln als Eingangsgrößen. Die Lenkwinkel der beiden Achsen können unabhängig voneinander vorgegeben werden. Das reduzierte kinematische Modell ist ein Kontrollsystem mit affinen und nichtaffinen Eingängen, da die Fahrgeschwindigkeit linear in das System eingeht, während die Lenkwinkel nichtlineare Eingangsgrößen sind. In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz zur Lösung des zeitoptimalen Steuerungsproblems für den zweiachsgelenkten Roboter vorgestellt. Im Gegensatz zu den meisten Standardmethoden für die zeitoptimale Steuerung basiert unser Ansatz nicht ausschließlich auf Diskretisierung und rein numerischen Verfahren. Stattdessen wird das Pontryagin Maximum Prinzip angewendet, um Kandidaten für zeitoptimale Lösungen zu charakterisieren. Das sich dabei ergebende Randwertproblem wird durch Optimierung gelöst, um Lösungen für das Bahnplanungsproblem über einem bestimmten Zeithorizont zu erhalten. Die Bahnplanung wird über einem abnehmenden Zeithorizont iteriert, um eine zeitoptimale Lösung zu approximieren. Eine Optimalitätsbedingung wird eingeführt, die von der Anzahl der Richtungsumkehrungen des Roboters abhängt. Diese Optimalitätsbedingung erlaubt es, nichtoptimale Lösungen mit zu vielen Richtungsumkehrungen auszusondern. Im Allgemeinen liefert unser Ansatz nur Approximationen zeitoptimaler Lösungen, da nur normale reguläre Extremalen als Lösungen für das Bahnplanungsproblem betrachtet werden und die Bahnplanung beendet wird, sobald eine Extremale mit der minimalen Anzahl von Richtungsumkehrungen gefunden wurde. Allerdings ergeben normale reguläre Extremalen mit der minimalen Anzahl von Richtungsumkehrungen für die meisten Zielkonfigurationen des zweiachsgelenkten Roboters zeitoptimale Lösungen. Die Konvergenz des Ansatzes wird untersucht und seine probabilistische Vollständigkeit wird bewiesen. Des Weiteren werden Simulationsergebnisse für zeitoptimale Lösungen des zweiachsgelenkten Roboters präsentiert. KW - Mobiler Roboter KW - Optimale Kontrolle KW - Zeitoptimale Regelung KW - zweiachsgelenkter Roboter KW - nichtholonomes System KW - zeitoptimale Steuerung KW - Pontryagin Maximum Prinzip KW - Nichtlineare Kontrolltheorie KW - Steuerbarkeit KW - bi-steerable robot KW - nonholonomic system KW - time-optimal control KW - Pontryagin Maximum Principle Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-75036 ER - TY - THES A1 - Akindeinde, Saheed Ojo T1 - Numerical Verification of Optimality Conditions in Optimal Control Problems T1 - Numerischen Verifizierung von Optimalitätsbedingungen für Optimalsteurungsprobleme N2 - This thesis is devoted to numerical verification of optimality conditions for non-convex optimal control problems. In the first part, we are concerned with a-posteriori verification of sufficient optimality conditions. It is a common knowledge that verification of such conditions for general non-convex PDE-constrained optimization problems is very challenging. We propose a method to verify second-order sufficient conditions for a general class of optimal control problem. If the proposed verification method confirms the fulfillment of the sufficient condition then a-posteriori error estimates can be computed. A special ingredient of our method is an error analysis for the Hessian of the underlying optimization problem. We derive conditions under which positive definiteness of the Hessian of the discrete problem implies positive definiteness of the Hessian of the continuous problem. The results are complemented with numerical experiments. In the second part, we investigate adaptive methods for optimal control problems with finitely many control parameters. We analyze a-posteriori error estimates based on verification of second-order sufficient optimality conditions using the method developed in the first part. Reliability and efficiency of the error estimator are shown. We illustrate through numerical experiments, the use of the estimator in guiding adaptive mesh refinement. N2 - Diese Arbeit widmet sich der numerischen Verifizierung von Optimalitaetsbedingungen fuer nicht konvexe Optimalsteuerungsprobleme. Im ersten Teil beschaeftigen wir uns mit der a-posteriori Ueberpruefung von hinreichenden Optimalitaetskriterien. Es ist bekannt, dass der Nachweis solcher Bedingungen fuer allgemeine nicht konvexe Optimierungsproblemem mit Nebenbedingungen in Form von partiellen Differentialgleichungen sehr schwierig ist. Wir stellen eine Methode vor, um die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung fuer eine allgemeine Problemklasse zu testen. Falls die vorgeschlagene Strategie bestaetigt, dass diese Bedingungen erfuellt sind, koennen a-posteriori Fehlerschaetzungen berechnet werden. Ein wesentlicher Bestandteil unserer Methode ist eine Fehleranalyse fuer die Hessematrix des zugrunde liegenden Optimierungsproblems. Es werden Bedingungen hergeleitet, unter denen die positive Definitheit der Hessematrix des diskreten Problems die positive Definitheit der Hessematrix fuer das kontinuierliche Problem nach sich zieht. Diese Ergebnisse werden durch numerische Experimente ergaenzt. Im zweiten Teil untersuchen wir adaptive (Diskretisierungs-)methoden fuer Optimalsteuerungsprobleme mit endlich vielen Kontrollparametern. Basierend auf dem Nachweis hinreichender Optimalitaetsbedingungen zweiter Ordnung analysieren wir a posteriori Fehlerschaetzungen. Dies geschieht unter der Nutzung der Resultate des ersten Teils der Arbeit. Es wird die Zuverlaessigkeit und Effizienz des Fehlerschaetzers bewiesen. Mittels weiterer numerischer Experimente illustrieren wir, wie der Fehlerschaetzer zur Steuerung adaptiver Gitterverfeinerung eingesetzt werden kann. KW - Optimale Kontrolle KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Numerisches Verfahren KW - non-convex optimal control problems KW - sufficient optimality conditions KW - a-posteriori error estimates KW - numerical approximations KW - adaptive refinement Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-76065 ER - TY - JOUR A1 - Ballester-Bolinches, A. A1 - Beidleman, J. C. A1 - Heineken, H. A1 - Pedraza-Aguilera, M. C. T1 - Local Classes and Pairwise Mutually Permutable Products of Finite Groups N2 - The main aim of the paper is to present some results about products of pairwise mutually permutable subgroups and local classes. KW - Mathematik KW - mutually permutable KW - local classes KW - p-soluble groups KW - p-supersolubility KW - finite groups Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-68062 ER - TY - JOUR A1 - Ferrante, Augusto A1 - Wimmer, Harald K. T1 - Reachability matrices and cyclic matrices N2 - We study reachability matrices R(A, b) = [b,Ab, . . . ,An−1b], where A is an n × n matrix over a field K and b is in Kn. We characterize those matrices that are reachability matrices for some pair (A, b). In the case of a cyclic matrix A and an n-vector of indeterminates x, we derive a factorization of the polynomial det(R(A, x)). KW - Mathematik KW - Reachability matrix KW - Krylow matrix KW - cyclic matrix KW - nonderogatory matrix KW - companion matrix KW - Vandermonde matrix KW - Hautus test Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-68074 N1 - AMS subject classifications. 15A03, 15A15, 93B05 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Spachmann, Christoph A1 - Englert, Stefan T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS [Version 2012.August.01] N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS. Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first three chapters can be dealt within the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 4, 5 and 6 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. Chapter 7 (case study) deals with a practical case and demonstrates the presented methods. It is possible to use this chapter independent in a seminar or practical training course, if the concepts of time series analysis are already well understood. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific parts are highlighted. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - Box-Jenkins-Verfahren KW - SAS KW - Zustandsraummodelle KW - Time Series Analysis KW - State-Space Models KW - Frequency Domain KW - Box–Jenkins Program Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-72617 N1 - Version: 2012-August-01 ER - TY - THES A1 - Schönlein, Michael T1 - Stability and Robustness of Fluid Networks: A Lyapunov Perspective T1 - Stabilität und Robustheit von Fluidnetzwerken: Eine Lyapunov Perspektive N2 - In the verification of positive Harris recurrence of multiclass queueing networks the stability analysis for the class of fluid networks is of vital interest. This thesis addresses stability of fluid networks from a Lyapunov point of view. In particular, the focus is on converse Lyapunov theorems. To gain an unified approach the considerations are based on generic properties that fluid networks under widely used disciplines have in common. It is shown that the class of closed generic fluid network models (closed GFNs) is too wide to provide a reasonable Lyapunov theory. To overcome this fact the class of strict generic fluid network models (strict GFNs) is introduced. In this class it is required that closed GFNs satisfy additionally a concatenation and a lower semicontinuity condition. We show that for strict GFNs a converse Lyapunov theorem is true which provides a continuous Lyapunov function. Moreover, it is shown that for strict GFNs satisfying a trajectory estimate a smooth converse Lyapunov theorem holds. To see that widely used queueing disciplines fulfill the additional conditions, fluid networks are considered from a differential inclusions perspective. Within this approach it turns out that fluid networks under general work-conserving, priority and proportional processor-sharing disciplines define strict GFNs. Furthermore, we provide an alternative proof for the fact that the Markov process underlying a multiclass queueing network is positive Harris recurrent if the associate fluid network defining a strict GFN is stable. The proof explicitely uses the Lyapunov function admitted by the stable strict GFN. Also, the differential inclusions approach shows that first-in-first-out disciplines play a special role. N2 - Für den Nachweis der positiven Harris-Rekurrenz bei Multiklassenwarteschlangennetzwerken ist die Stabilitätsanalyse der Klasse von Fluidnetzwerken von wesentlicher Bedeutung. Gegenstand dieser Arbeit ist die Stabilität von Fluidnetzwerken aus der Sicht von Lyapunov. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf konverse Lyapunov Theoreme gelegt. Hierzu wird ein axiomatischer Zugang gewählt, der auf generischen Eigenschaften gängiger Fluidnetzwerke basiert. Die Arbeit zeigt, dass die Klasse der abgeschlossenen generischen Fluidnetzwerk (abgeschlossene GFN) Modelle zu weit gefasst ist, um eine umfassende Lyapunovtheorie zu ermöglichen. Um dies zu beheben, wird die Klasse der strikten GFN Modelle eingeführt. In dieser Klasse wird verlangt, dass abgeschlossene GFN Modelle zusätzlich eine Verkettungs- sowie eine Unterhalbstetigkeitsbedingung erfüllen. Aus der Arbeit geht hervor, dass für strikte GFN Modelle Stabilität äquivalent zu der Existenz einer stetigen Lyapunov-Funktion ist. Darüberhinaus wird eine Regularitätseigenschaft an die Trajektorien des stikten GFN Modells gegeben, welche die Konstruktion glatter Lyapunov-Funktionen ermöglicht. Für den Nachweis, dass Fluidnetzwerke unter gängigen Disziplinen die zusätzlichen Eigenschaften erfüllen, werden diese als Differentialinklusionen aufgefasst. Dabei zeigt sich, dass allgemein arbeitserhaltende Fluidnetzwerke und Fluidnetzwerke mit Prioritäten strikte GFN Modelle liefern. Zudem zeigt die Arbeit einen alternativen Beweis dafür, dass der einem Multiklassenwarteschlangennetzwerk zugrunde liegende Markovprozess positiv Harris-rekurrent ist, falls das zugehörige Fluidnetzwerk ein striktes GFN Modell definiert und stabil ist. Dabei wird explizit die Lyapunov-Funktion des Fluidnetzwerkes ausgenutzt. Außerdem zeigt die Betrachtung von Fluidnetzwerken mittels Differentialinklusionen, dass first-in-first-out Fluidnetzwerken eine Sonderrolle zukommt. KW - Warteschlangennetz KW - Ljapunov-Funktion KW - Ljapunov-Stabilitätstheorie KW - Fluidnetzwerk KW - Lyapunov Funktion KW - Stabilität KW - queueing networks KW - fluid networks KW - stability KW - Lyapunov functions Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-72235 ER - TY - JOUR A1 - Chenchiah, Isaac A1 - Schlömerkemper, Anja T1 - Non-laminate microstructures in monoclinic-I martensite N2 - We study the symmetrised rank-one convex hull of monoclinic-I martensite (a twelve-variant material) in the context of geometrically-linear elasticity. We construct sets of T3s, which are (non-trivial) symmetrised rank-one convex hulls of 3-tuples of pairwise incompatible strains. Moreover we construct a five-dimensional continuum of T3s and show that its intersection with the boundary of the symmetrised rank-one convex hull is four-dimensional. We also show that there is another kind of monoclinic-I martensite with qualitatively different semi-convex hulls which, so far as we know, has not been experimentally observed. Our strategy is to combine understanding of the algebraic structure of symmetrised rank-one convex cones with knowledge of the faceting structure of the convex polytope formed by the strains. KW - Martensit KW - Mehrskalenmodell KW - Phasenumwandlung KW - Variationsrechnung KW - kubisch-monokliner Phasenübergang KW - semi-konvexe Hüllen KW - geometrisch lineare Elastizitätstheorie KW - T3s KW - cubic-monoclinic martensites KW - semi-convex hulls KW - geometrically linear elasticity KW - T3s Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-72134 ER - TY - THES A1 - Tichy, Michael T1 - On algebraic aggregation methods in additive preconditioning T1 - Algebraische Aggregations Methoden für additive Vorkonditionierer N2 - In the following dissertation we consider three preconditioners of algebraic multigrid type, though they are defined for arbitrary prolongation and restriction operators, we consider them in more detail for the aggregation method. The strengthened Cauchy-Schwarz inequality and the resulting angle between the spaces will be our main interests. In this context we will introduce some modifications. For the problem of the one-dimensional convection we obtain perfect theoretical results. Although this is not the case for more complex problems, the numerical results we present will show that the modifications are also useful in these situation. Additionally, we will consider a symmetric problem in the energy norm and present a simple rule for algebraic aggregation. N2 - In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir drei Vorkonditionierer, die alle zur Klasse der additiven Mehrgittermethoden gehören. Wir definieren diese zuerst für beliebige Prolongations- und Restriktionsoperatoren, betrachten sie dann anschließend aber detaillierter für den Fall, dass diese Operatoren aus der Methode der algebraic aggregation kommen. Unser Hauptaugenmerk legen wir dann auf die verschärfte Cauchy-Schwarz Ungleichung, bzw. die Winkel, die zwischen den Räumen entstehen. Dafür führen wir einige Modifikationen ein. Für das Problem der eindimensionalen Konvektion erhalten wir ein perfektes Resultat. Für komplexere System (insbesondere solche mit einem elliptischen Anteil) ist dies nicht der Fall. Trotzdem zeigen die numerischen Resultate, dass die von uns eingeführten Modifikationen auch in diesem Fall nützlich sind. Zusätzlich betrachten wir ein symmetrisches Problem in der Energie Norm. Dabei erhalten wir eine einfache Regel für die algebraic aggregation. KW - Präkonditionierung KW - Mehrgitterverfahren KW - Aggregation KW - Mehrgitter KW - Vorkonditionierer KW - black box KW - algebraische Aggregation KW - Partielle Differentialgleichung KW - Kondition KW - multigrid KW - preconditioning KW - black box KW - algebraic aggregation Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-56541 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Tewes, Bernward A1 - Dinges, Peter A1 - Spachmann, Christoph A1 - Englert, Stefan T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS. Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first three chapters can be dealt within the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 4, 5 and 6 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. Chapter 7 (case study) deals with a practical case and demonstrates the presented methods. It is possible to use this chapter independent in a seminar or practical training course, if the concepts of time series analysis are already well understood. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific parts are highlighted. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - Box-Jenkins-Verfahren KW - SAS KW - Zustandsraummodelle KW - Time Series Analysis KW - State-Space Models KW - Frequency Domain KW - Box–Jenkins Program Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-56489 N1 - Version: 2011-March-01 ER - TY - THES A1 - Wisheckel, Florian T1 - Some Applications of D-Norms to Probability and Statistics T1 - Einige Anwendungen von D-Normen in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik N2 - This cumulative dissertation is organized as follows: After the introduction, the second chapter, based on “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) by Falk and Wisheckel, is an investigation of the asymptotic dependence behavior of the components of bivariate order statistics. We find that the two components of the order statistics become asymptotically independent for certain combinations of (sequences of) indices that are selected, and it turns out that no further assumptions on the dependence of the two components in the underlying sample are necessary. To establish this, an explicit representation of the conditional distribution of bivariate order statistics is derived. Chapter 3 is from “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel and deals with the conditional distribution of an Archimedean copula, conditioned on one of its components. We show that its tails are independent under minor conditions on the generator function, even if the unconditional tails were dependent. The theoretical findings are underlined by a simulation study and can be generalized to Archimax copulas. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) by Falk, Padoan and Wisheckel lead to Chapter 4 where we introduce a nonparametric approach to estimate the probability that a random vector exceeds a fixed threshold if it follows a Generalized Pareto copula. To this end, some theory underlying the concept of Generalized Pareto distributions is presented first, the estimation procedure is tested using a simulation and finally applied to a dataset of air pollution parameters in Milan, Italy, from 2002 until 2017. The fifth chapter collects some additional results on derivatives of D-norms, in particular a condition for the existence of directional derivatives, and multivariate spacings, specifically an explicit formula for the second-to-last bivariate spacing. N2 - Diese kumulative Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Nach der Einleitung wird im zweiten Kapitel, welches auf “Asymptotic independence of bivariate order statistics” (2017) von Falk und Wisheckel beruht, die asymptotische Abhängigkeitsstruktur von bivariaten Ordnungsstatistiken untersucht. Dazu wird eine explizite Darstellung der bedingten Verteilung einer bivariaten Ordnungsstatistik hergeleitet. Kapitel 3, basierend auf “Conditional tail independence in archimedean copula models” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel, zeigt, dass unter schwachen Anforderungen an den Generator einer Archimedischen Copula die übrigen Komponenten unabhängig werden, wenn man auf eine davon bedingt. Das insbesondere auch dann, wenn die Komponenten ohne die Bedingung abhängig waren. Die theoretischen Erkenntnisse werden anhand von Simulationsergebnissen verdeutlicht. “Generalized pareto copulas: A key to multivariate extremes” (2019) von Falk, Padoan und Wisheckel liefert Kapitel 4. Es wird ein nichtparametrischer Ansatz vorgestellt um die Überschreitungswahrscheinlichkeit eines Zufallsvektors über einen festen, hohen Schwellenwert zu schätzen, wenn dieser einer verallgemeinerten Pareto Copula folgt. Das Verfahren wird in den theoretischen Rahmen eingebettet, anhand einer Simulation validiert und auf Luftverschmutzungsdaten in Mailand, Italien, von 2002 bis 2017 angewendet. Im fünften Kapitel werden einige weitere Ergebnisse gesammelt: es geht um Ableitungen von D-Normen, insbesondere um eine Bedingung, die die Existenz der Richtungsableitungen sicherstellt. Außerdem werden multivariate Spacings thematisiert. KW - Kopula KW - Bedingte Unabhängigkeit KW - Extremwertstatistik KW - D-Norms KW - Multivariate order statistics KW - Archimedean copula KW - Extreme value copula KW - Exceedance Stability KW - Generalized Pareto copula KW - Asymptotic independence KW - multivariate generalized Pareto distribution KW - confidence interval KW - Pareto-Verteilung KW - Copula Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-212140 ER - TY - THES A1 - Buchholzer, Hannes T1 - The Semismooth Newton Method for the Solution of Reactive Transport Problems Including Mineral Precipitation-Dissolution Reactions T1 - Das Semismooth-Newtonverfahren für die Lösung von reaktiven Transportproblemen einschließlich Auflösungs-Fällungs-Reaktionen mit Mineralien N2 - In dieser Arbeit befassen wir uns mit einem reaktiven Transportmodell mit Niederschlags-Auflösung Reaktionen das aus den Geowissenschaften stammt. Es besteht aus PDGs, gewöhnlichen Differentialgleichungen, algebraischen Gleichungen und Komplementaritätsbedingungen. Nach Diskretisation dieses Modells erhalten wir eine großes nichtlineares und nichtglattes Gleichungssystem. Wir lösen dieses System mit der semismoothen Newtonverfahren, das von Qi und Sun eingeführt wurde. Der Fokus dieser Arbeit ist in der Anwendung und Konvergenz dieses Algorithmus. Wir zeigen, dass dieser Algorithmus für dieses Problem wohldefiniert ist und sogar lokal quadratisch konvergiert gegen eine BD-reguläre Lösung. Wir befassen uns auch mit den dabei entstehenden linearen Gleichungssystemen, die sehr groß und dünn besetzt sind, und wie sie effizient gelöst werden können. Ein wichtiger Bestandteil dieser Untersuchung ist die Beschränktheit einer gewissen matrixwertigen Funktion, die in einem eigenen Kapitel gezeigt wird. Als Seitenbetrachtung untersuchen wir wie die extremalen Eigenwerte (und Singulärwerte) von gewissen PDE-Operatoren, welche in unserem diskretisierten Modell vorkommen, genau abgeschätzt werden können. N2 - In this thesis we consider a reactive transport model with precipitation dissolution reactions from the geosciences. It consists of PDEs, ODEs, algebraic equations (AEs) and complementary conditions (CCs). After discretization of this model we get a huge nonlinear and nonsmooth equation system. We tackle this system with the semismooth Newton method introduced by Qi and Sun. The focus of this thesis is on the application and convergence of this algorithm. We proof that this algorithm is well defined for this problem and local even quadratic convergent for a BD-regular solution. We also deal with the arising linear equation systems, which are large and sparse, and how they can be solved efficiently. An integral part of this investigation is the boundedness of a certain matrix-valued function, which is shown in a separate chapter. As a side quest we study how extremal eigenvalues (and singular values) of certain PDE-operators, which are involved in our discretized model, can be estimated accurately. KW - Komplementaritätsproblem KW - Newton-Verfahren KW - System von partiellen Differentialgleichungen KW - Angewandte Geowissenschaften KW - semismooth KW - nichtglatt KW - semismooth Newton method KW - complementary problems KW - PDE KW - large-scale KW - Carbon dioxide capture Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-65342 ER - TY - THES A1 - Schwartz, Alexandra T1 - Mathematical Programs with Complementarity Constraints: Theory, Methods and Applications T1 - Mathematische Programme mit Komplementaritätsrestriktionen: Theorie, Verfahren und Anwendungen N2 - The subject of this thesis are mathematical programs with complementarity conditions (MPCC). At first, an economic example of this problem class is analyzed, the problem of effort maximization in asymmetric n-person contest games. While an analytical solution for this special problem could be derived, this is not possible in general for MPCCs. Therefore, optimality conditions which might be used for numerical approaches where considered next. More precisely, a Fritz-John result for MPCCs with stronger properties than those known so far was derived together with some new constraint qualifications and subsequently used to prove an exact penalty result. Finally, to solve MPCCs numerically, the so called relaxation approach was used. Besides improving the results for existing relaxation methods, a new relaxation with strong convergence properties was suggested and a numerical comparison of all methods based on the MacMPEC collection conducted. N2 - Das Thema dieser Dissertation sind mathematische Programme mit Komplementaritätsrestriktionen (MPCC). Zunächst wurde eine ökonomische Anwendung dieses Problemklasse betrachtet, das sogenannte Wettbewerbsdesignproblem. Während es für dieses spezielle Problem möglich war eine analytische Lösung herzuleiten, ist dies im Allgemeinen nicht möglich. Daher wurden anschließend Optimalitätsbedingungen, die für eine numerische Lösung verwendet werden können, betrachtet. Genauer wurde ein stärkeres Fritz-John Resultat als die bisher bekannten zusammen mit neuen Constraint Qualifications hergeleitet und anschließend zum Beweis eines exakten Penaltyresultates benutzt. Schließlich wurden zur numerischen Lösung von MPCCs sogenannte Relaxationsverfahren betrachtet. Zusätzlich zur Verbesserung der Resultate für bekannte Verfahren wurde eine neue Relaxierung mit starken Konvergenzeigenschaften vorgeschlagen und ein numerischer Vergleich aller Verfahren auf Basis der MacMPEC Testsammlung durchgeführt. KW - Zwei-Ebenen-Optimierung KW - Nash-Gleichgewicht KW - Constraint-Programmierung KW - Wettbewerbsdesign KW - Nichtlineare Optimierung KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Kombinatorische Optimierung KW - Numerik KW - MPEC Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-64891 ER - TY - BOOK A1 - Lingel, Klaus T1 - Metakognitives Wissen Mathematik – Entwicklung und Zusammenhang mit der Mathematikleistung in der Sekundarstufe I T1 - Metacognitive Knowledge on Mathematics – Development and Relation to Mathematics Achievement in Secondary School N2 - Das Wissen über kognitive Prozesse oder metakognitives Wissen ist seit den 1970er-Jahren Gegenstand der entwicklungspsychologischen Forschung. Im Inhaltsbereich der mathematischen Informationsverarbeitung ist das Konstrukt jedoch – trotz elaborierter theoretischer Modelle über Struktur und Inhalt – empirisch nach wie vor weitgehend unerschlossen. Die vorliegende Studie schließt diese Lücke, indem sie die Entwicklung des mathematischen metakognitiven Wissens im Längsschnitt untersucht. Dazu wurde nicht nur der Entwicklungsverlauf beschrieben, sondern auch nach den Quellen für die beobachteten individuellen Unterschiede in der Entwicklung gesucht. Auch die aus pädagogischen Gesichtspunkten interessanten Zusammenhänge zwischen der metakognitiven Wissensentwicklung und der parallel dazu verlaufenden Entwicklung der mathematischen Kompetenzen wurden analysiert. N2 - Knowledge about cognition or metacognitive knowledge has been a subject of interest in developmental psychology since the 1970s. The main focus has been on the development and impact of metacognitive knowledge on memory development during preschool and primary school. Despite elaborated theoretical models of structure and content, there is hardly any empirical research on metacognitive knowledge on mathematical information processing. This study investigated systematically the development of mathematical metacognitive knowledge in secondary school, the impact of individual determinants on developmental differences and the relation among the developmental processes in metacognitive knowledge and in mathematical achievement. The analyses were based on data of four measurement points of a larger longitudinal study. The observed time period spanned Grades 5 and 6. The sample included 928 students in the three main tracks of the German secondary educational system (academic, intermediate and vocational track). The instruments used to assess developmental changes in mathematical metacognitive knowledge and mathematics achievement were constructed according to the item response theory. In order to consider the developmental progress of the sample, instruments were consecutively adapted by vertical linking. Additionally, cognitive (intelligence and working memory capacity), motivational (mathematical interest and self-concept) and socioeconomic (socioeconomic status of family) traits were assessed. Reading competency was controlled as method factor. Developmental differences and changes in metacognitive knowledge were analyzed by latent growth curve models. The sample showed a continuous growth in metacognitive knowledge. The developmental progress, however did not proceed linearly, but decelerated during the course of Grade 6. Cognitive and socioeconomic traits predicted developmental differences and changes in metacognitive knowledge. Motivational traits, though, had no impact on the developmental process. Gender differences showed up as differential gains in favor of female students. Right at the first measurement point, effects of school tracking were significant. Over the observed period, students of the academic and the vocational track achieved a stronger growth in metacognitive knowledge than students in the intermediate track. Explorative mixture distribution modeling resulted in three latent classes of developmental change. The class allocation was predicted by school track, cognitive and socioeconomic traits. The developmental processes of mathematical metacognitive knowledge and mathematics achievement were bidirectionally related. Developmental differences in both grouping variables, gender and school track, as well as correlational relations between the observed developmental processes remained significant under control for students´ cognitive, motivational and socioeconomic traits. These findings essentially confirm the constructivist assumption of metacognitive knowledge development as postulated in memory research. Additionally, the investigation of mathematical metacognitive knowledge in secondary school widens substantially the traditional focus of research. The instrument to assess metacognitive knowledge which was constructed as part of this study allows future research in the field of metacognitive development. KW - Kognitiver Prozess KW - Metakognition KW - Mathematikunterricht KW - Längsschnittuntersuchung KW - Kindheit KW - Jugend KW - Sekundarstufe KW - Metakognitives Wissen KW - Metacognitive Knowledge KW - Mathematics Achievement KW - Mathematikleistung KW - Kognition KW - Entwicklung Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-103269 SN - 978-3-95826-004-7 (print) SN - 978-3-95826-005-4 (online) N1 - Parallel erschienen als Druckausg. in Würzburg University Press, ISBN 978-3-95826-004-7, 29,80 EUR. PB - Würzburg University Press CY - Würzburg ER - TY - THES A1 - Ciaramella, Gabriele T1 - Exact and non-smooth control of quantum spin systems T1 - Exakte und nicht-glatte Kontrolle von Quanten-Spin-Systemen N2 - An efficient and accurate computational framework for solving control problems governed by quantum spin systems is presented. Spin systems are extremely important in modern quantum technologies such as nuclear magnetic resonance spectroscopy, quantum imaging and quantum computing. In these applications, two classes of quantum control problems arise: optimal control problems and exact-controllability problems, with a bilinear con- trol structure. These models correspond to the Schrödinger-Pauli equation, describing the time evolution of a spinor, and the Liouville-von Neumann master equation, describing the time evolution of a spinor and a density operator. This thesis focuses on quantum control problems governed by these models. An appropriate definition of the optimiza- tion objectives and of the admissible set of control functions allows to construct controls with specific properties. These properties are in general required by the physics and the technologies involved in quantum control applications. A main purpose of this work is to address non-differentiable quantum control problems. For this reason, a computational framework is developed to address optimal-control prob- lems, with possibly L1 -penalization term in the cost-functional, and exact-controllability problems. In both cases the set of admissible control functions is a subset of a Hilbert space. The bilinear control structure of the quantum model, the L1 -penalization term and the control constraints generate high non-linearities that make difficult to solve and analyse the corresponding control problems. The first part of this thesis focuses on the physical description of the spin of particles and of the magnetic resonance phenomenon. Afterwards, the controlled Schrödinger- Pauli equation and the Liouville-von Neumann master equation are discussed. These equations, like many other controlled quantum models, can be represented by dynamical systems with a bilinear control structure. In the second part of this thesis, theoretical investigations of optimal control problems, with a possible L1 -penalization term in the objective and control constraints, are consid- ered. In particular, existence of solutions, optimality conditions, and regularity properties of the optimal controls are discussed. In order to solve these optimal control problems, semi-smooth Newton methods are developed and proved to be superlinear convergent. The main difficulty in the implementation of a Newton method for optimal control prob- lems comes from the dimension of the Jacobian operator. In a discrete form, the Jacobian is a very large matrix, and this fact makes its construction infeasible from a practical point of view. For this reason, the focus of this work is on inexact Krylov-Newton methods, that combine the Newton method with Krylov iterative solvers for linear systems, and allows to avoid the construction of the discrete Jacobian. In the third part of this thesis, two methodologies for the exact-controllability of quan- tum spin systems are presented. The first method consists of a continuation technique, while the second method is based on a particular reformulation of the exact-control prob- lem. Both these methodologies address minimum L2 -norm exact-controllability problems. In the fourth part, the thesis focuses on the numerical analysis of quantum con- trol problems. In particular, the modified Crank-Nicolson scheme as an adequate time discretization of the Schrödinger equation is discussed, the first-discretize-then-optimize strategy is used to obtain a discrete reduced gradient formula for the differentiable part of the optimization objective, and implementation details and globalization strategies to guarantee an adequate numerical behaviour of semi-smooth Newton methods are treated. In the last part of this work, several numerical experiments are performed to vali- date the theoretical results and demonstrate the ability of the proposed computational framework to solve quantum spin control problems. N2 - Effiziente und genaue Methoden zum Lösen von Kontrollproblemen, die durch Quantum- Spin-Systemen gesteuert werden, werden vorgestellt. Spin-Systeme sind in moderner Quantentechnologie wie Kernspinresonanzspektroskopie, Quantenbildgebung und Quan- tencomputern äußerst wichtig. In diesen Anwendungen treten zwei Arten von Quan- tenkontrollproblemen auf: Optimalsteuerungsprobleme und Exaktsteuerungsprobleme beide mit einer bilinearen Kontrollstruktur. Diese Modelle entsprechen der Schrödinger- Pauli-Gleichung, die die Zeitentwicklung eines Spinors beschreibt, und der Liouville-von- Neumann-Mastergleichung, die die Zeitentwicklung eines Spinors und eines Dichteoper- ators beschreibt. Diese Arbeit konzentriert sich auf Quantenkontrollprobleme, die durch diese Modelle beschrieben werden. Eine entsprechende Definition des Optimierungsziels und der zulässigen Menge von Kontrollfunktionen erlaubt die Konstruktion von Steuerun- gen mit speziellen Eigenschaften. Diese Eigenschaften werden im Allgemeinen von der Physik und der in Quantenkontrolle verwendeten Technologie gefordert. Ein Hauptziel diser Arbeit ist die Untersuchung nicht-differenzierbarer Quantenkon- trollprobleme. Deshalb werden Rechenmethoden entwickelt um Optimalsteuerungsprob- lemen, die einen L1-Term im Kostenfunktional enthalten, und Exaktsteuerungsprobleme zu lösen. In beiden Fällen ist die zulässige Menge ein Teilraum eines Hilbertraumes. Die bilineare Kontrollstruktur des Quantenmodells, der L1-Kostenterm und die Nebenbedin- gungen der Kontrolle erzeugen starke Nichtlinearitäten, die die Lösung und Analyse der entsprechenden Problemen schwierig gestalten. Der erste Teil der Disseration konzentriert sich auf die physikalische Beschreibung des Spins von Teilchen und Phänomenen magnetischer Resonanz. Anschließend wird die kon- trollierte Schrödinger-Pauli-Gleichung und die Liouville-von-Neumann-Mastergleichung diskutiert. Diese Gleichungen können ebenso wie viele andere kontrollierte Quantenmod- elle durch ein dynamisches System mit biliniearer Kontrollstruktur dargestellt werden. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine theoretische Untersuchung der Optimalsteuer- ungsprobleme, die einen L1-Kostenterm und Einschränkungen der Kontrolle enthalten können, durchgeführt. Insbesondere wird die Existenz von Lösungen und Optimalitäts- bedingungen und die Regularität der optimalen Kontrolle diskutiert. Um diese Optimal- steuerungsprobleme zu lösen werden halbglatte Newtonverfahren entwickelt und ihre su- perlineare Konvergenz bewiesen. Die Hauptschwierigkeit bei der Implementierung eines Newtonverfahrens für Optimalsteuerungsprobleme ist die Dimension des Jacobiopera- tors. In einer diskreten Form ist der Jacobioperator eine sehr große Matrix, war die Konstruktion in der Praxis undurchführbar macht. Daher konzentriert sich diese Ar- beit auf inexakte Krylov-Newton-Verfahren, die Newtonverfahren mit iterativen Krylov- Lösern für lineare Gleichungssysteme kombinieren, was die Konstruktion der diskreten Jacobimatrix erübrigt. Im dritten Teil der Disseration werden zwei Methoden für die Lösung von exakte Steuerbarkeit Problemen für Quanten-Spin-Systemen vorgestellt. Die erste Methode ist eine Fortsetzungstechnik während die zweite Methode auf einer bestimmten Refor- mulierung des exakten Kontrollproblems basiert. Beide Verfahren widmen sich L2-Norm exakten Steuerbarkeitsproblemen. Im vierten Teil die Disseration konzentriert sich auf die numerische Analyse von Quan- tenkontrollproblemen. Insbesondere wird das modifizierte Crank-Nicolson-Verfahren als eine geeignete Zeitdiskretisierung der Schrödingergleichung diskutiert. Es wird erst diskretisiert und nachfolgend optimiert, um den diskreten reduzierten Gradienten für den differenzierbaren Teil des Optimierungsziels zu erhalten. Die Details der Implemen- tierung und der Globalisierungsstrategie, die angemessenes numerisches Verhalten der halbglatten Newtonverfahren garantiert, werden behandelt. Im letzten Teil dieser Arbeit werden verschiedene numerische Experimente durchge- führt um die theoretischen Ergebnisse zu validieren und die Fähigkeiten de vorgeschla- genen Lösungsstrategie für Quanten-Spin-Kontrollproblemen zu validieren. KW - Quantum control KW - Spin systems KW - Nonsmooth optimization KW - Exact-controllability KW - Spinsystem KW - Nichtglatte Optimierung KW - Kontrolltheorie Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-118386 ER - TY - THES A1 - Srichan, Teerapat T1 - Discrete Moments of Zeta-Functions with respect to random and ergodic transformations T1 - Diskrete Momente von Zetafunktionen mit zufälligen und ergodentheoretischen Transformationen N2 - In the thesis discrete moments of the Riemann zeta-function and allied Dirichlet series are studied. In the first part the asymptotic value-distribution of zeta-functions is studied where the samples are taken from a Cauchy random walk on a vertical line inside the critical strip. Building on techniques by Lifshits and Weber analogous results for the Hurwitz zeta-function are derived. Using Atkinson’s dissection this is even generalized to Dirichlet L-functions associated with a primitive character. Both results indicate that the expectation value equals one which shows that the values of these zeta-function are small on average. The second part deals with the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function on vertical lines and here the samples are with respect to an explicit ergodic transformation. Extending work of Steuding, discrete moments are evaluated and an equivalent formulation for the Riemann Hypothesis in terms of ergodic theory is obtained. In the third and last part of the thesis, the phenomenon of universality with respect to stochastic processes is studied. It is shown that certain random shifts of the zeta-function can approximate non-vanishing analytic target functions as good as we please. This result relies on Voronin's universality theorem. N2 - Die Dissertation behandelt diskrete Momente der Riemannschen Zetafunktion und verwandter Dirichletreihen. Im ersten Teil wird die asymptotische Werteverteilung von Zetafunktionen studiert, wobei die Werte zufällig auf einer vertikalen Geraden im kritischen Streifen gemäß einer Cauchyschen Irrfahrt summiert werden. Auf einer Vorarbeit von Lifshits und Weber aufbauend werden analoge Resultate für die Hurwitz Zetafunktion erzielt. Mit Hilfe der Atkinsonschen Formel gelingt eine weitere Verallgemeinerung für Dirichletsche L-Funktion zu einem primitiven Charakter. Beide Ergebnisse zeigen, dass der Erwartungswert stets eins beträgt, womit die jeweilige Zetafunktion im Mittel betragsmäßig klein ist. Der zweite Teil befasst sich mit der logarithmischen Ableitung der Riemannschen Zetafunktion auf vertikalen Geraden, wobei hier die Werte einer ergodischen Transformation entstammen. Eine Arbeit von Steuding verallgemeinernd werden diskrete Momente berechnet und eine äquivalente Formulierung der Riemannschen Vermutung in ergodentheoretischer Sprache erzielt. Im dritten und letzten Teil der Dissertation wird das Phänomen der Universalität unter dem Aspekt stochastischer Prozesse studiert. Es wird gezeigt, dass gewisse zufällige Translate der Zetafunktion nullstellenfreie analytische Zielfunktionen beliebig gut approximieren. Dieses Ergebnis basiert auf dem Voroninschen Universalitätssatz. KW - Riemannsche Zetafunktion KW - Zeta-function KW - random walk KW - ergodic transformation KW - Dirichlet-Reihe KW - Riemann Hypothesis Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-118395 ER - TY - THES A1 - Schäffner, Mathias T1 - Multiscale analysis of non-convex discrete systems via \(\Gamma\)-convergence T1 - Mehrskalenanalyse von nicht-konvexen diskreten Systemen mittels \(\Gamma\)-Konvergenz N2 - The subject of this thesis is the rigorous passage from discrete systems to continuum models via variational methods. The first part of this work studies a discrete model describing a one-dimensional chain of atoms with finite range interactions of Lennard-Jones type. We derive an expansion of the ground state energy using \(\Gamma\)-convergence. In particular, we show that a variant of the Cauchy-Born rule holds true for the model under consideration. We exploit this observation to derive boundary layer energies due to asymmetries of the lattice at the boundary or at cracks of the specimen. Hereby we extend several results obtained previously for models involving only nearest and next-to-nearest neighbour interactions by Braides and Cicalese and Scardia, Schlömerkemper and Zanini. The second part of this thesis is devoted to the analysis of a quasi-continuum (QC) method. To this end, we consider the discrete model studied in the first part of this thesis as the fully atomistic model problem and construct an approximation based on a QC method. We show that in an elastic setting the expansion by \(\Gamma\)-convergence of the fully atomistic energy and its QC approximation coincide. In the case of fracture, we show that this is not true in general. In the case of only nearest and next-to-nearest neighbour interactions, we give sufficient conditions on the QC approximation such that, also in case of fracture, the minimal energies of the fully atomistic energy and its approximation coincide in the limit. N2 - Der Gegenstand dieser Doktorarbeit ist der mathematisch strenge Übergang von diskreten Systemen zu kontinuierlichen Modellen. Im ersten Teil der Arbeit betrachten wir ein diskretes Modell für eine Kette von Atomen welche durch Lennard-Jones-artige Potentiale mit endlicher Reichweite miteinander wechselwirken. Wir leiten eine Entwicklung der Energie des Grundzustands mittels \(\Gamma\)-Konvergenz her. Dabei zeigen wir zunächst die Gültigkeit einer Variante der sogenannten Cauchy-Born Regel für unser Modell. Diese Beobachtung benutzen wir um Oberflächenenergien herzuleiten. Diese entstehen zum einen am Rand der Kette, aber auch an den Oberflächen die durch Brüche im kontinuierlichem Material gebildet werden. Dabei werden einige Resultate verallgemeinert, welche von Braides und Cicalese bzw. Scardia, Schlömerkemper und Zanini für Modelle bewiesen wurden in denen nur nächste und übernächste Nachbarn wechselwirken. Im zweiten Teil der Arbeit widmen wir uns der Untersuchung einer Quasi-continuum (QC) Methode. Wir betrachten die Energie aus dem ersten Teil als atomistisches Modellproblem und konstruieren eine Annäherung dieser Energie durch eine QC Methode. Im Falle von elastischen Verhalten zeigen wir, dass die Entwicklung mittels \(\Gamma\)-Konvergenz der atomistischen Energie und ihrer QC Approximation übereinstimmen. Falls allerdings Brüche auftreten gilt dies im Allgemeinen nicht mehr. Für Modelle in denen nur nächste und übernächste Nachbarn miteinander wechselwirken leiten wir hinreichende Bedingungen her die, auch im Falle von Brüchen, garantieren, dass das Minimum der atomistischen Energie und das Minimum der QC Approximation den gleichen Grenzwert haben. KW - Gamma-Konvergenz KW - gamma-convergence KW - discrete-to-continuum KW - quasi-continuum KW - fracture Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-122349 ER - TY - THES A1 - Mohammadi, Masoumeh T1 - Analysis of discretization schemes for Fokker-Planck equations and related optimality systems T1 - Analyse von Diskretisierungsmethoden für Fokker-Planck-Gleichungen und verwandte Optimalitätssysteme N2 - The Fokker-Planck (FP) equation is a fundamental model in thermodynamic kinetic theories and statistical mechanics. In general, the FP equation appears in a number of different fields in natural sciences, for instance in solid-state physics, quantum optics, chemical physics, theoretical biology, and circuit theory. These equations also provide a powerful mean to define robust control strategies for random models. The FP equations are partial differential equations (PDE) describing the time evolution of the probability density function (PDF) of stochastic processes. These equations are of different types depending on the underlying stochastic process. In particular, they are parabolic PDEs for the PDF of Ito processes, and hyperbolic PDEs for piecewise deterministic processes (PDP). A fundamental axiom of probability calculus requires that the integral of the PDF over all the allowable state space must be equal to one, for all time. Therefore, for the purpose of accurate numerical simulation, a discretized FP equation must guarantee conservativeness of the total probability. Furthermore, since the solution of the FP equation represents a probability density, any numerical scheme that approximates the FP equation is required to guarantee the positivity of the solution. In addition, an approximation scheme must be accurate and stable. For these purposes, for parabolic FP equations on bounded domains, we investigate the Chang-Cooper (CC) scheme for space discretization and first- and second-order backward time differencing. We prove that the resulting space-time discretization schemes are accurate, conditionally stable, conservative, and preserve positivity. Further, we discuss a finite difference discretization for the FP system corresponding to a PDP process in a bounded domain. Next, we discuss FP equations in unbounded domains. In this case, finite-difference or finite-element methods cannot be applied. By employing a suitable set of basis functions, spectral methods allow to treat unbounded domains. Since FP solutions decay exponentially at infinity, we consider Hermite functions as basis functions, which are Hermite polynomials multiplied by a Gaussian. To this end, the Hermite spectral discretization is applied to two different FP equations; the parabolic PDE corresponding to Ito processes, and the system of hyperbolic PDEs corresponding to a PDP process. The resulting discretized schemes are analyzed. Stability and spectral accuracy of the Hermite spectral discretization of the FP problems is proved. Furthermore, we investigate the conservativity of the solutions of FP equations discretized with the Hermite spectral scheme. In the last part of this thesis, we discuss optimal control problems governed by FP equations on the characterization of their solution by optimality systems. We then investigate the Hermite spectral discretization of FP optimality systems in unbounded domains. Within the framework of Hermite discretization, we obtain sparse-band systems of ordinary differential equations. We analyze the accuracy of the discretization schemes by showing spectral convergence in approximating the state, the adjoint, and the control variables that appear in the FP optimality systems. To validate our theoretical estimates, we present results of numerical experiments. N2 - Die Fokker-Planck (FP) Gleichung ist ein grundlegendes Modell in thermodynamischen kinetischen Theorien und der statistischen Mechanik. Die FP-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen (PDE), welche die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) von stochastischen Prozessen beschreiben. Diese Gleichungen sind von verschiedenen Arten, abhängig von dem zugrunde liegenden stochastischen Prozess. Insbesondere sind dies parabolische PDEs für die PDF von Ito Prozessen, und hyperbolische PDEs für teilweise deterministische Prozesse (PDP). Ein grundlegendes Axiom der Wahrscheinlichkeitsrechnung verlangt, dass das Integral der PDF über den ganzen Raum für alle Zeit muss gleich sein muss. Daher muss eine diskretisierte FP Gleichung Konservativität der Gesamtwahrscheinlichkeit garantieren. Da die Lösung der FP Gleichung eine Wahrscheinlichkeitsdichte darstellt, muss das numerische Verfahren, das die FP-Gleichung approximiert, die Positivität der Lösung gewährleisten. Darüber hinaus muss ein Approximationsschema genau und stabil sein. Für FP-Gleichungen auf begrenzte Bereiche untersuchen wir das Chang-Cooper (CC) Schema. Wir beweisen, dass die Diskretisierungsmethoden genau, bedingt stabil und konservativ sind, und Positivität bewahren. Als nächstes diskutieren wir FP Gleichungen in unbeschränkten Gebieten und wir wählen die Hermite spektrale Diskretisierung. Die resultierenden diskretisierten Schemata werden analysiert. Stabilität und spektrale Genauigkeit der Hermiten spektralen Diskretisierung ist bewiesen. Darüber hinaus untersuchen wir die Konservativität der numerischen Lösungen der FP Gleichungen. Im letzten Teil dieser Arbeit diskutieren wir Probleme der optimalen Steuerung, die von FP Gleichungen geregelt werden. Wir untersuchen dann die Hermite spektrale Diskretisierung von FP Optimalitätssystemen in unbeschränkten Gebieten. Wir erhalten spärliche Band-Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen. Wir analysieren die Genauigkeit der Diskretisierungsmethoden, indem wir spektrale Konvergenz bei der Annäherung des zustandes, das Adjoint, und die Stellgrößen, die in den FP Optimalitätssystemen erscheinen, aufzeigen. Um unsere theoretischen Schätzungen zu bestätigen, präsentieren wir Ergebnisse von numerischen Experimenten. KW - Fokker-Planck-Gleichung KW - Fokker-Planck optimality systems Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-111494 ER - TY - THES A1 - Wongkaew, Suttida T1 - On the control through leadership of multi-agent systems T1 - Die Steuerung durch den Hauptagent von Multi-Agenten -Systemen N2 - The investigation of interacting multi-agent models is a new field of mathematical research with application to the study of behavior in groups of animals or community of people. One interesting feature of multi-agent systems is collective behavior. From the mathematical point of view, one of the challenging issues considering with these dynamical models is development of control mechanisms that are able to influence the time evolution of these systems. In this thesis, we focus on the study of controllability, stabilization and optimal control problems for multi-agent systems considering three models as follows: The first one is the Hegselmann Krause opinion formation (HK) model. The HK dynamics describes how individuals' opinions are changed by the interaction with others taking place in a bounded domain of confidence. The study of this model focuses on determining feedback controls in order to drive the agents' opinions to reach a desired agreement. The second model is the Heider social balance (HB) model. The HB dynamics explains the evolution of relationships in a social network. One purpose of studying this system is the construction of control function in oder to steer the relationship to reach a friendship state. The third model that we discuss is a flocking model describing collective motion observed in biological systems. The flocking model under consideration includes self-propelling, friction, attraction, repulsion, and alignment features. We investigate a control for steering the flocking system to track a desired trajectory. Common to all these systems is our strategy to add a leader agent that interacts with all other members of the system and includes the control mechanism. Our control through leadership approach is developed using classical theoretical control methods and a model predictive control (MPC) scheme. To apply the former method, for each model the stability of the corresponding linearized system near consensus is investigated. Further, local controllability is examined. However, only in the Hegselmann-Krause opinion formation model, the feedback control is determined in order to steer agents' opinions to globally converge to a desired agreement. The MPC approach is an optimal control strategy based on numerical optimization. To apply the MPC scheme, optimal control problems for each model are formulated where the objective functions are different depending on the desired objective of the problem. The first-oder necessary optimality conditions for each problem are presented. Moreover for the numerical treatment, a sequence of open-loop discrete optimality systems is solved by accurate Runge-Kutta schemes, and in the optimization procedure, a nonlinear conjugate gradient solver is implemented. Finally, numerical experiments are performed to investigate the properties of the multi-agent models and demonstrate the ability of the proposed control strategies to drive multi-agent systems to attain a desired consensus and to track a given trajectory. N2 - Die Untersuchung von interagierende Multiagent-Modellen ist ein neues mathematisches Forschungsfeld, das sich mit dem Gruppenverhalten von Tieren beziehungsweise Sozialverhalten von Menschen. Eine interessante Eigenschaft der Multiagentensysteme ist kollektives Verhalten. Eine der herausfordernden Themen, die sich mit diesen dynamischen Modellen befassen, ist in der mathematischen Sicht eine Entwicklung der Regelungsmechanismen, die die Zeitevolution dieser Systemen beeinflussen können. In der Doktorarbeit fokussieren wir uns hauptsächlich auf die Studie von Problemen der Steuerbarkeit, Stabilität und optimalen Regelung für Multiagentensysteme anhand drei Modellen wie folgt: Das erste ist die Hegselmann- Krause opinion formation Modell. Die HK-Dynamik beschreibt die Änderung der Meinungen von einzelnen Personen aufgrund der Interaktionen mit den Anderen. Die Studie dieses Model fokussiert auf bestimmte Regelungen, um die Meinungen der Agenten zu betreiben, damit eine gewünschte Zustimmung erreicht wird. Das zweite Model ist das Heider social balance (HB) Modell. Die HB-Dynamik beschreibt die Evolution von Beziehungen in einem sozialen Netzwerk. Ein Ziel der Untersuchung dieses Systems ist die Konstruktion der Regelungsfunktion um die Beziehungen zu steuern, damit eine Freundschaft erreicht wird. Das dritte Modell ist ein Schar-Modell, das in biologischen Systemen beobachteten kollektive Bewegung beschreibt. Das Schar-Model unter Berücksichtigung beinhaltet Selbstantrieb, Friktion, Attraktion Repulsion und Anpassungsfähigkeiten. Wir untersuchen einen Regler für die Steuerung des Schar-Systems, um eine gewünschte Trajektorie zu verfolgen. Üblich wie alle dieser Systeme soll laut unsere Strategie ein Hauptagent, der sich mit alle anderen Mitgliedern des Systems interagieren, hinzugefügt werden und das Regelungsmechanismus inkludiert werden. Unserer Regelung anhand dem Vorgehen mit Führungsverhalten ist unter Verwendung von klassischen theoretischen Regelungsmethode und ein Schema der modellpr ädiktiven Regelung entwickelt. Zur Ausführung der genannten Methode wird für jedes Modell die Stabilität der korrespondierenden Linearsystem in der Nähe von Konsensus untersucht. Ferner wird die lokale Regelbarkeit geprüft. Nur in dem Hegselmann-Krause opinion formation Modell. Der Regler wird so bestimmt, dass die Meinungen der Agenten gesteuert werden können. Dadurch konvergiert es global zu eine gewünschten Zustimmung. Die MPC-Vorgehensweise ist eine optimale Regelung Strategie, die auf numerische Optimierung basiert. Zu Verwendung des MPC-Shema werden die optimalen Regelungsproblemen für jedes Modell formuliert, wo sich die objektive Funktionen in Abhängigkeit von den gewünschten objective des Problems unterscheidet. Die erforderliche Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für jedes Problem sind präsentiert. Auÿerdem für die numerische Prozess, eine Sequenz von offenen diskreten Optimalitätssystemen ist nach dem expliziten Runge-Kutta Schema gelöst. In dem Optimierungsverfahren ist ein nicht linear konjugierter Gradientlöser umgesetzt. Schlieÿlich sind numerische Experimenten in der Lage, die Eigenschaften der Multiagent-Modellen zu untersuchen und die Fähigkeiten der gezielten Regelstrategie zu beweisen. Die Strategie nutzt zu betreiben Multiagentensysteme, um einen gewünschten Konsensus zu erreichen und eine gegebene Trajektorie zu verfolgen. KW - Controllability KW - Optimal control problem KW - Multi-agent systems KW - Mehragentensystem KW - Optimale Kontrolle Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-120914 ER - TY - THES A1 - Bauer, Ulrich Josef T1 - Conformal Mappings onto Simply and Multiply Connected Circular Arc Polygon Domains T1 - Konforme Abbildungen auf einfach und mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete N2 - The goal of this thesis is to investigate conformal mappings onto circular arc polygon domains, i.e. domains that are bounded by polygons consisting of circular arcs instead of line segments. Conformal mappings onto circular arc polygon domains contain parameters in addition to the classical parameters of the Schwarz-Christoffel transformation. To contribute to the parameter problem of conformal mappings from the unit disk onto circular arc polygon domains, we investigate two special cases of these mappings. In the first case we can describe the additional parameters if the bounding circular arc polygon is a polygon with straight sides. In the second case we provide an approximation for the additional parameters if the circular arc polygon domain satisfies some symmetry conditions. These results allow us to draw conclusions on the connection between these additional parameters and the classical parameters of the mapping. For conformal mappings onto multiply connected circular arc polygon domains, we provide an alternative construction of the mapping formula without using the Schottky-Klein prime function. In the process of constructing our main result, mappings for domains of connectivity three or greater, we also provide a formula for conformal mappings onto doubly connected circular arc polygon domains. The comparison of these mapping formulas with already known mappings allows us to provide values for some of the parameters of the mappings onto doubly connected circular arc polygon domains if the image domain is a polygonal domain. The different components of the mapping formula are constructed by using a slightly modified variant of the Poincaré theta series. This construction includes the design of a function to remove unwanted poles and of different versions of functions that are analytic on the domain of definition of the mapping functions and satisfy some special functional equations. We also provide the necessary concepts to numerically evaluate the conformal mappings onto multiply connected circular arc polygon domains. As the evaluation of such a map requires the solution of a differential equation, we provide a possible configuration of curves inside the preimage domain to solve the equation along them in addition to a description of the procedure for computing either the formula for the doubly connected case or the case of connectivity three or greater. We also describe the procedures for solving the parameter problem for multiply connected circular arc polygon domains. N2 - Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung von konformen Abbildungen auf Zirkularpolygongebiete, d.h. Gebiete, die von Polygonen berandet werden, die sich aus Kreisbögen statt Geradenstücken zusammensetzen. Konforme Abbildungen auf Zirkularpolygongebiete enthalten Parameter zusätzlich zu den klassischen Parametern der Schwarz-Christoffel-Transformation. Um zum Parameterproblem der konformen Abbildungen der Einheitskreisscheibe auf Zirkularpolygongebiete beizutragen, werden zwei Spezialfälle dieser Abbildungen untersucht. Im ersten Fall können die zusätzlichen Parameter angeben werden, falls das berandende Zirkularpolygon ein Polygon mit geraden Seiten ist. Im zweiten Fall wird eine Approximation für die zusätzlichen Parameter angegeben, falls das Zirkularpolygongebiet gewisse Symmetriebedingungen erfüllt. Diese Ergebnisse erlauben es Schlüsse zu ziehen in Bezug auf die Verbindung zwischen den zusätzlichen Parametern und den klassischen Parametern der Abbildung. Für Konforme Abbildungen auf mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete wird eine alternative Konstruktion der Abbildungsformel angegeben, welche nicht die "Schottky-Klein prime function" verwendet. Während der Konstruktion des Hauptergebnisses, der Abbildungsformel für Gebiete mit einem Zusammenhang von drei oder mehr, wird auch eine Formel für die konformen Abbildungen auf zweifach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete angegeben. Der Vergleich dieser Abbildungsformeln mit bereits bekannten Abbildungen erlaubt es Werte für einige der Parameter der Abbildungen auf zweifach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete anzugeben, falls das Bildgebiet ein Polygonalgebiet ist. Die unterschiedlichen Komponenten der Abbildungsformel sind unter Verwendung einer leicht modifizierten Form der Poincaré-Theta-Reihe konstruiert. Diese Konstruktion enthält die Gestaltung einer Funktion um unerwünschte Polstellen zu entfernen und von unterschiedlichen Versionen von Funktionen, die analytisch auf dem Definitionsgebiet der Abbildungsfunktion sind und spezielle Funktionalgleichungen erfüllen. Es werden auch die notwendigen Konzepte angegeben um die konformen Abbildungen auf mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete numerisch auszuwerten. Prozedurbeschreibungen für die Berechnung der Formel für zweifach zusammenhängende Bildgebiete und für den Fall eines Zusammenhangs von drei oder mehr werden angegeben. Da für das Auswerten solcher Abbildungen das Lösen einer Differentialgleichung notwendig ist, werden mögliche Konfigurationen von Kurven im Urbildgebiet angegeben, an denen entlang die Gleichung gelöst werden kann. Es werden weiterhin Prozeduren beschrieben um das Parameterproblem für mehrfach zusammenhängende Zirkularpolygongebiete zu lösen. KW - Konforme Abbildungen KW - conformal mapping KW - circular arc polygon domain KW - multiply connected domain Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-123914 ER - TY - THES A1 - Hain, Johannes T1 - Valuation Algorithms for Structural Models of Financial Networks T1 - Algorithmen zur Bestimmung von Gleichgewichtslösungen in Finanzsystemen mit Kapitalverflechtung N2 - The thesis focuses on the valuation of firms in a system context where cross-holdings of the firms in liabilities and equities are allowed and, therefore, systemic risk can be modeled on a structural level. A main property of such models is that for the determination of the firm values a pricing equilibrium has to be found. While there exists a small but growing amount of research on the existence and the uniqueness of such price equilibria, the literature is still somewhat inconsistent. An example for this fact is that different authors define the underlying financial system on differing ways. Moreover, only few articles pay intense attention on procedures to find the pricing equilibria. In the existing publications, the provided algorithms mainly reflect the individual authors' particular approach to the problem. Additionally, all existing methods do have the drawback of potentially infinite runtime. For these reasons, the objects of this thesis are as follows. First, a definition of a financial system is introduced in its most general form in Chapter 2. It is shown that under a fairly mild regularity condition the financial system has a unique existing payment equilibrium. In Chapter 3, some extensions and differing definitions of financial systems that exist in literature are presented and it is shown how these models can be embedded into the general model from the proceeding chapter. Second, an overview of existing valuation algorithms to find the equilibrium is given in Chapter 4, where the existing methods are generalized and their corresponding mathematical properties are highlighted. Third, a complete new class of valuation algorithms is developed in Chapter 4 that includes the additional information whether a firm is in default or solvent under a current payment vector. This results in procedures that are able find the solution of the system in a finite number of iteration steps. In Chapter 5, the developed concepts of Chapter 4 are applied to more general financial systems where more than one seniority level of debt is present. Chapter 6 develops optimal starting vectors for non-finite algorithms and Chapter 7 compares the existing and the new developed algorithms concerning their efficiency in an extensive simulation study covering a wide range of possible settings for financial systems. N2 - Die vorliegende Dissertation hat die Unternehmensbewertung in Finanzsystemen mit Fremd- und Eigenkapitalverflechtung zum Thema. Die zentrale Eigenschaft dieser Modelle ist, dass zur Bestimmung der Firmenwerte eine Gleichgewichtslösung ermittelt werden muss. Die Zahl der Veröffentlichungen mit dem Schwerpunkt des Nachweises von Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen der Gleichgewichte steigt zwar stetig an, allerdings ist die Fachliteratur in diesem Bereich teilweise noch sehr inkonsistent. Beispielsweise existieren je nach Autor unterschiedliche Vorgehensweisen, das zugrunde liegende Finanzsystem zu definieren. Darüber hinaus schenken nur wenige Fachartikel der Frage Beachtung, wie die Lösungsgleichgewichte genau bestimmt werden können. Zuletzt weisen die bereits entwickelten Verfahren den Nachteil auf, dass Sie womöglich unendlich viele Iterationsschritte benötigen bis die gesuchte Lösung exakt erreicht wird. Aus diesen Gründen beinhaltet die vorliegende Dissertation folgende Themen. Im ersten Schritt wird in Kapitel 2 eine möglichst allgemeine Definition eines Finanzsystems eingeführt. Es wird gezeigt dass unter nicht allzu strengen Voraussetzungen die Gleichgewichtslösung dieses Systems eindeutig bestimmt ist. In Kapitel 3 werden in der Fachliteratur zu diesem Thema zu findende Erweiterungen und abweichende Definitionen des Systems vorgestellt und wie diese in das allgemeine Modell aus dem vorherigen Kapitel eingebettet werden können. Danach wird in Kapitel 4 ein Überblick über bereits entwickelte Lösungsverfahren gegeben, wobei die existierenden Prozeduren in ihrem Vorgehen verallgemeinert und deren zugehörige mathematische Eigenschaften aufgezeigt werden. Des weiteren wird im gleichen Kapitel eine komplett neue Klasse von Lösungsverfahren entwickelt, die noch die zusätzliche Information verarbeiten, ob eine Firma für einen gegebenen Zahlungsvektor solvent oder insolvent ist. Als Folge dieses Ansatzes sind diese Algorithmen in der Lage, die exakte Gleichgewichtslösung des Systems in endlich vielen Schritten zu finden. In Kapitel 5 werden die entworfenen Konzepte dann für Finanzsysteme angewendet, in denen mehr als nur eine Schulden-Seniorität berücksichtigt wird. Kapitel 6 leitet optimale Startvektoren der nicht-endlichen Verfahren her und Kapitel 7 vergleicht die bereits existierenden und alle neu entwickelten Lösungsverfahren bezüglich ihrer Laufzeiteffizienz im Rahmen einer ausführlichen Simulationsstudie. KW - Risikomanagement KW - Finanzmathematik KW - Financial Networks KW - Counterparty Risk KW - Numerical Asset Valuation KW - Systemic Risk KW - Structrual Model KW - Unternehmensbewertung KW - Kapitalverflechtung KW - Finanzielle Netzwerke KW - Systemisches Risiko Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-128108 ER - TY - THES A1 - Hofmann, Daniel T1 - Characterization of the D-Norm Corresponding to a Multivariate Extreme Value Distribution T1 - Eine Charakterisierung der D-Norm einer multivariaten Extremwertverteilung N2 - It is well-known that a multivariate extreme value distribution can be represented via the D-Norm. However not every norm yields a D-Norm. In this thesis a necessary and sufficient condition is given for a norm to define an extreme value distribution. Applications of this theorem includes a new proof for the bivariate case, the Pickands dependence function and the nested logistic model. Furthermore the GPD-Flow is introduced and first insights were given such that if it converges it converges against the copula of complete dependence. N2 - Es ist wohlbekannt dass sich eine multivariate Extremwertverteilung mittels der D-Norm darstellen lässt. Jedoch liefert nicht jede Norm eine D-Norm. In dieser Arbeit wird eine notwendige und hinreichende Bedingung an eine Norm hergeleitet, so dass diese Norm eine Extremwertverteilung definiert. Anwendungen dieses Satzes sind unter anderem einer neuer Beweis für den bivariaten Fall, die Pickands Abhängigkeitsfunktion und das Nestes Logistic Model. Desweiteren wird der GPD-Fluss eingeführt und erste Untersuchungen wurden durchgeführt. Zum Beispiel die Tatsache, dass wenn der GPD-Fluss konvergiert, dann gegen die Copula der kompletten Abhängigkeit. KW - Kopula KW - Extremwertverteilung KW - D-Norm KW - multivariate Extreme Value Distribution KW - GPD KW - GPD-Flow KW - Copula Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-41347 ER - TY - THES A1 - Hoheisel, Tim T1 - Mathematical Programs with Vanishing Constraints T1 - Optimierungsprobleme mit \'vanishing constraints\' N2 - A new class of optimization problems name 'mathematical programs with vanishing constraints (MPVCs)' is considered. MPVCs are on the one hand very challenging from a theoretical viewpoint, since standard constraint qualifications such as LICQ, MFCQ, or ACQ are most often violated, and hence, the Karush-Kuhn-Tucker conditions do not provide necessary optimality conditions off-hand. Thus, new CQs and the corresponding optimality conditions are investigated. On the other hand, MPVCs have important applications, e.g., in the field of topology optimization. Therefore, numerical algorithms for the solution of MPVCs are designed, investigated and tested for certain problems from truss-topology-optimization. KW - Nichtlineare Optimierung KW - Nichtglatte Optimierung KW - Nichtkonvexe Optimierung KW - Nichtglatte Analysis KW - Konvexe Analysis KW - Topologieoptimierung KW - MPEC KW - MPVC Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-40790 ER - TY - THES A1 - von Heusinger, Anna T1 - Numerical Methods for the Solution of the Generalized Nash Equilibrium Problem T1 - Numerische Verfahren zur Lösung des verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblem N2 - In the generalized Nash equilibrium problem not only the cost function of a player depends on the rival players' decisions, but also his constraints. This thesis presents different iterative methods for the numerical computation of a generalized Nash equilibrium, some of them globally, others locally superlinearly convergent. These methods are based on either reformulations of the generalized Nash equilibrium problem as an optimization problem, or on a fixed point formulation. The key tool for these reformulations is the Nikaido-Isoda function. Numerical results for various problem from the literature are given. N2 - Das verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsproblem ist ein Lösungskonzept für Spiele, in denen neben der Kostenfunktion eines Spielers auch dessen Strategiemenge von den Entscheidungen der anderen Spieler abhängt. In dieser Arbeit werden global konvergente und lokal superlinear konvergente Verfahren zur numerischen Berechnung eines verallgemeinerten Nash-Gleichgewichts vorgestellt. Die Verfahren basieren entweder auf einer Umformulierung des verallgemeinerten Nash-Gleichgewichtsproblems als Optimierungsproblem oder als Fixpunktproblem. Für diese Umformulierungen wird die Nikaido-Isoda Funktion verwendet. Es werden numerische Ergebenisse für einige Probleme aus der Literatur widergegeben. KW - Spieltheorie KW - Nash-Gleichgewicht KW - Nichtlineare Optimierung KW - Newton-Verfahren KW - Abstiegsverfahren KW - Nikaido-Isoda Funktion KW - Nash Equilibrium Problem KW - Newton Methods KW - Nikaido-Isoda function Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-47662 ER - TY - JOUR A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank T1 - Von Mises condition revisited N2 - It is shown that the rate of convergence in the von Mises conditions of extreme value theory determines the distance of the underlying distribution function F from a generalized Pareto distribution. The distance is measured in terms of the pertaining densities with the limit being ultimately attained if and only if F is ultimately a generalized Pareto distribution. Consequently, the rate of convergence of the extremes in an lid sample, whether in terms of the distribution of the largest order statistics or of corresponding empirical truncated point processes, is determined by the rate of convergence in the von Mises condition. We prove that the converse is also true. KW - Von Mises conditions KW - extreme value theory KW - extreme value distribution KW - extreme order statistics KW - generalized Pareto distribution Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45790 ER - TY - JOUR A1 - Janssen, A. A1 - Marohn, Frank T1 - On statistical information of extreme order statistics, local extreme value alternatives, and Poisson point processes N2 - The aim of the present paper is to clarify the role of extreme order statistics in general statistical models. This is done within the general setup of statistical experiments in LeCam's sense. Under the assumption of monotone likelihood ratios, we prove that a sequence of experiments is asymptotically Gaussian if, and only if, a fixed number of extremes asymptotically does not contain any information. In other words: A fixed number of extremes asymptotically contains information iff the Poisson part of the limit experiment is non-trivial. Suggested by this result, we propose a new extreme value model given by local alternatives. The local structure is described by introducing the space of extreme value tangents. It turns out that under local alternatives a new class of extreme value distributions appears as limit distributions. Moreover, explicit representations of the Poisson limit experiments via Poisson point processes are found. As a concrete example nonparametric tests for Frechet type distributions against stochastically larger alternatives are treated. We find asymptotically optimal tests within certain threshold models. Y1 - 1994 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45816 ER - TY - CHAP A1 - Marohn, Frank T1 - On testing the exponential and Gumbel distribution N2 - No abstract available KW - Gumbel-Verteilung KW - Extremal–I–Verteilung KW - generalized Pareto distribution KW - extreme value distribution Y1 - 1994 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45804 ER - TY - BOOK A1 - Marohn, Frank T1 - On statistical information of extreme order statistics N2 - No abstract available KW - Rangstatistik KW - Extremwert KW - Statistik Y1 - 1990 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-47866 N1 - Zugl.: Siegen, Univ.-Gesamthochschule, Diss., 1990 ER - TY - JOUR A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank T1 - Asymptotically optimal tests for conditional distributions N2 - No abstract available Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45823 ER - TY - JOUR A1 - Marohn, Frank T1 - Asymptotic sufficiency of order statistics for almost regular Weibull type densities N2 - Consider a location family which is defined via a Weibull type density having shape parameter a = 1. We treat the problem, which portion of the order statistics is asymptotically sufficient. It turns out that the intermediate order statistics are relevant. KW - Weibull type density KW - intermediate order statistics KW - asymptotic sufficiency KW - local asymptotic normality Y1 - 1994 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45837 ER - TY - CHAP A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank T1 - Laws of small numbers : Some applications to conditional curve estimation N2 - No abstract available KW - Gesetz der kleinen Zahlen KW - Poisson-Prozess KW - Regressionsanalyse KW - Extremwertstatistik Y1 - 1992 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-45841 N1 - Essays to the memory of Professor Jozsef Mogyorodi ER - TY - JOUR A1 - Marohn, Frank T1 - Global sufficiency of extreme order statistics in location models of Weibull type N2 - In Janssen and Reiss (1988) it was shown that in a location model of a Weibull type sample with shape parameter -1 < a < 1 the k(n) lower extremes are asymptotically local sufficient. In the present paper we show that even global sufficiency holds. Moreover, it turns out that convergence of the given statistical experiments in the deficiency metric does not only hold for compact parameter sets but for the whole real line. KW - Extremwertstatistik KW - Weibull-Verteilung Y1 - 1991 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-47874 ER - TY - THES A1 - Schindele, Andreas T1 - Proximal methods in medical image reconstruction and in nonsmooth optimal control of partial differential equations T1 - Proximale Methoden in der medizinischen Bildrekonstruktion und in der nicht-glatten optimalen Steuerung von partiellen Differenzialgleichungen N2 - Proximal methods are iterative optimization techniques for functionals, J = J1 + J2, consisting of a differentiable part J2 and a possibly nondifferentiable part J1. In this thesis proximal methods for finite- and infinite-dimensional optimization problems are discussed. In finite dimensions, they solve l1- and TV-minimization problems that are effectively applied to image reconstruction in magnetic resonance imaging (MRI). Convergence of these methods in this setting is proved. The proposed proximal scheme is compared to a split proximal scheme and it achieves a better signal-to-noise ratio. In addition, an application that uses parallel imaging is presented. In infinite dimensions, these methods are discussed to solve nonsmooth linear and bilinear elliptic and parabolic optimal control problems. In particular, fast convergence of these methods is proved. Furthermore, for benchmarking purposes, truncated proximal schemes are compared to an inexact semismooth Newton method. Results of numerical experiments are presented to demonstrate the computational effectiveness of our proximal schemes that need less computation time than the semismooth Newton method in most cases. Results of numerical experiments are presented that successfully validate the theoretical estimates. N2 - Proximale Methoden sind iterative Optimierungsverfahren für Funktionale J = J1 +J2, die aus einem differenzierbaren Teil J2 und einem möglicherweise nichtdifferenzierbaren Teil bestehen. In dieser Arbeit werden proximale Methoden für endlich- und unendlichdimensionale Optimierungsprobleme diskutiert. In endlichen Dimensionen lösen diese `1- und TV-Minimierungsprobleme welche erfolgreich in der Bildrekonstruktion der Magnetresonanztomographie (MRT) angewendet wurden. Die Konvergenz dieser Methoden wurde in diesem Zusammenhang bewiesen. Die vorgestellten proximalen Methoden wurden mit einer geteilten proximalen Methode verglichen und konnten ein besseres Signal-Rausch-Verhältnis erzielen. Zusätzlich wurde eine Anwendung präsentiert, die parallele Bildgebung verwendet. Diese Methoden werden auch für unendlichdimensionale Probleme zur Lösung von nichtglatten linearen und bilinearen elliptischen und parabolischen optimalen Steuerungsproblemen diskutiert. Insbesondere wird die schnelle Konvergenz dieser Methoden bewiesen. Außerdem werden abgeschnittene proximale Methoden mit einem inexakten halbglatten Newtonverfahren verglichen. Die numerischen Ergebnisse demonstrieren die Effektivität der proximalen Methoden, welche im Vergleich zu den halbglatten Newtonverfahren in den meisten Fällen weniger Rechenzeit benötigen. Zusätzlich werden die theoretischen Abschätzungen bestätigt. KW - Optimale Kontrolle KW - Proximal-Punkt-Verfahren KW - Bildrekonstruktion KW - Komprimierte Abtastung KW - Optimal Control KW - Elliptic equations KW - Parabolic equations KW - Proximal Method KW - Semismooth Newton Method KW - Medical image reconstruction KW - Sparsity KW - Total Variation KW - Compressed Sensing KW - Magnetic Resonance Imaging KW - Partielle Differentialgleichung Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-136569 ER - TY - THES A1 - Zott, Maximilian T1 - Extreme Value Theory in Higher Dimensions - Max-Stable Processes and Multivariate Records T1 - Höherdimensionale Extremwerttheorie - Max-Stabile Prozesse und Multivariate Rekorde N2 - Die Extremwerttheorie behandelt die stochastische Modellierung seltener und extremer Ereignisse. Während fundamentale Theorien in der klassischen Stochastik, wie etwa die Gesetze der großen Zahlen oder der zentrale Grenzwertsatz das asymptotische Verhalten der Summe von Zufallsvariablen untersucht, liegt in der Extremwerttheorie der Fokus auf dem Maximum oder dem Minimum einer Menge von Beobachtungen. Die Grenzverteilung des normierten Stichprobenmaximums unter einer Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen kann durch sogenannte max-stabile Verteilungen charakterisiert werden. In dieser Dissertation werden verschiedene Aspekte der Theorie der max-stabilen Zufallsvektoren und stochastischen Prozesse behandelt. Insbesondere wird der Begriff der 'Differenzierbarkeit in Verteilung' eines max-stabilen Prozesses eingeführt und untersucht. Ferner werden 'verallgemeinerte max-lineare Modelle' eingeführt, um einen bekannten max-stabilen Zufallsvektor durch einen max-stabilen Prozess zu interpolieren. Darüber hinaus wird der Zusammenhang von extremwerttheoretischen Methoden mit der Theorie der multivariaten Rekorde hergestellt. Insbesondere werden sogenannte 'vollständige' und 'einfache' Rekorde eingeführt, und deren asymptotisches Verhalten untersucht. N2 - Extreme value theory is concerned with the stochastic modeling of rare and extreme events. While fundamental theories of classical stochastics - such as the laws of small numbers or the central limit theorem - are used to investigate the asymptotic behavior of the sum of random variables, extreme value theory focuses on the maximum or minimum of a set of observations. The limit distribution of the normalized sample maximum among a sequence of independent and identically distributed random variables can be characterized by means of so-called max-stable distributions. This dissertation concerns with different aspects of the theory of max-stable random vectors and stochastic processes. In particular, the concept of 'differentiability in distribution' of a max-stable process is introduced and investigated. Moreover, 'generalized max-linear models' are introduced in order to interpolate a known max-stable random vector by a max-stable process. Further, the connection between extreme value theory and multivariate records is established. In particular, so-called 'complete' and 'simple' records are introduced as well as it is examined their asymptotic behavior. KW - Stochastischer Prozess KW - Extremwertstatistik KW - max-stable process KW - max-linear model KW - Wahrscheinlichkeitsrechnung KW - Rekord Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-136614 ER - TY - THES A1 - Böhm, Christoph T1 - Loewner equations in multiply connected domains T1 - Loewner Gleichungen für mehrfach zusammenhängende Gebiete N2 - The first goal of this thesis is to generalize Loewner's famous differential equation to multiply connected domains. The resulting differential equations are known as Komatu--Loewner differential equations. We discuss Komatu--Loewner equations for canonical domains (circular slit disks, circular slit annuli and parallel slit half-planes). Additionally, we give a generalisation to several slits and discuss parametrisations that lead to constant coefficients. Moreover, we compare Komatu--Loewner equations with several slits to single slit Loewner equations. Finally we generalise Komatu--Loewner equations to hulls satisfying a local growth property. N2 - Zunächst diskutieren wir eine Verallgemeinerung der radialen und chordalen Loewner Differentialgleichung auf mehrfach zusammenhängende Standardgebiete (Kreisschlitzgebiete, Kreisringschlitzgebiete, parallel Schlitz-Halbebenen). Diese Differentialgleichungen werden Komatu-Loewner Differentialgleichungen bezeichnet. Wir verallgemeinern diese auch auf mehrere Schlitze und zeigen, dass es Parametrisierungen gibt, die zu konstanten Koeffizienten führen. Zusätzlich vergleichen wir Komatu-Loewner Gleichungen für mehrere Schlitze mit Loewner Gleichungen im Einschlitzfall. Schließlich untersuchen wir den Fall von allgemeineren Wachstumsprozessen, die dadurch charakterisiert sind, dass nur ein "lokaler Zuwachs" möglich ist. KW - Biholomorphe Abbildung KW - Differentialgleichung KW - Loewner-Theorie KW - Loewner theory Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-129903 ER - TY - THES A1 - Solak, Ebru T1 - Almost Completely Decomposable Groups of Type (1,2) T1 - Fast vollständig zerlegbare Gruppen vom Typ (1,2) N2 - A torsion free abelian group of finite rank is called almost completely decomposable if it has a completely decomposable subgroup of finite index. A p-local, p-reduced almost completely decomposable group of type (1,2) is briefly called a (1,2)-group. Almost completely decomposable groups can be represented by matrices over the ring Z/hZ, where h is the exponent of the regulator quotient. This particular choice of representation allows for a better investigation of the decomposability of the group. Arnold and Dugas showed in several of their works that (1,2)-groups with regulator quotient of exponent at least p^7 allow infinitely many isomorphism types of indecomposable groups. It is not known if the exponent 7 is minimal. In this dissertation, this problem is addressed. N2 - Eine fast vollständig zerlegbare Gruppe ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe endlichen Ranges,die eine vollständig zerlegbare Untergruppe von endlichem Index enthält. Fast vollständig zerlegbare Gruppen gestatten eine Darstellung durch Matrizen über dem Ring Z/hZ, wobei h der Exponent des Regulatorquotienten ist. Auf dieser Matrixdarstellung aufsetzend kann man das Zerlegungsverhalten von Gruppen untersuchen. Arnold und Dugas haben in mehreren Arbeiten gezeigt, dass es unendlich viele Isomorphietypen unzerlegbarer fast vollständig zerlegbarer Gruppen gibt,sobald der Exponent des Regulatorquotienten grösser gleich sieben ist. Allerdings ist unbekannt, ob sieben der kleinste Exponent mit dieser Eigenschaft ist. Wir untersuchen dieses Problem für p-lokale fast vollständig zerlegbare Gruppen vom Typ (1,2). KW - Torsionsfreie abelsche Gruppe KW - Darstellungsmatrix KW - Abelsche Gruppe KW - Torsion-free abelian groups KW - abelian groups KW - almost completely decomposable groups KW - representing matrix Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-24794 ER - TY - THES A1 - Teichert, Christian T1 - Globale Minimierung von Linearen Programmen mit Gleichgewichtsrestriktionen und globale Konvergenz eines Filter-SQPEC-Verfahrens für Mathematische Programme mit Gleichgewichtsrestriktionen T1 - Global minimization of linear programs with equilibrium constraints and global convergence of a filter-SQPEC algorithm for mathematical programs with equilibrium constraints N2 - Mathematische Programme mit Gleichgewichtsrestriktionen (oder Komplementaritätsbedingungen), kurz MPECs, sind als äußerst schwere Optimierungsprobleme bekannt. Lokale Minima oder geeignete stationäre Punkte zu finden, ist ein nichttriviales Problem. Diese Arbeit beschreibt, wie man dennoch die spezielle Struktur von MPECs ausnutzen kann und mittels eines Branch-and-Bound-Verfahrens ein globales Minimum von Linearen Programmen mit Gleichgewichtsrestriktionen, kurz LPECs, bekommt. Des Weiteren wird dieser Branch-and-Bound-Algorithmus innerhalb eines Filter-SQPEC-Verfahrens genutzt, um allgemeine MPECs zu lösen. Für das Filter-SQPEC Verfahren wird ein globaler Konvergenzsatz bewiesen. Außerdem werden für beide Verfahren numerische Resultate angegeben. N2 - Mathematical programs with equilibrium (or complementarity) constraints, MPECs for short, are known to be very difficult optimization problems. Finding local minima or suitable stationary points is a highly nontrivial task. On the other hand, taking into account the special structure of MPECs, this thesis describes a branch-and-bound-type algorithm for the computation of a global minimum of linear programs with equilibrium constraints, LPECs for short. Furthermore this branch-and-bound-type algorithm is used within a filter-SQPEC algorithm to solve the general MPEC. For the filter-SQPEC algorithm, a global convergence theorem is proven. Numerical results are presented for both methods. KW - Nichtlineare Optimierung KW - MPEC KW - LPEC KW - Filter-SQPEC Verfahren KW - globale Konvergenz KW - branch- and-bound Verfahren KW - MPEC KW - LPEC KW - filter-SQPEC algorithm KW - global convergence KW - branch-and-bound algorithm Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-38700 ER - TY - THES A1 - Kuhn Andriotti, Gustavo T1 - Prospect Theory Multi-Agent Based Simulations for Non-Rational Route Choice Decision Making Modelling T1 - Prospect Theorie basierte Multi-Agenten Simulationen für nicht-rationalle Route Entscheidung Modellierung N2 - Simulations (MASim) and non-rational behaviour. This non-rational behaviour is here based on the Prospect Theory [KT79] (PT), which is compared to the rational behaviour in the Expected Utility Theory [vNM07] (EUT). This model was used to design a modified Q-Learning [Wat89, WD92] algorithm. The PT based Q-Learning was then integrated into a proposed agent architecture. Because much attention is given to a limited interpretation of Simon's definition of bounded-rationality, this interpretation is broadened here. Both theories, rationality and the non-rationality, are compared and the discordance in their results discussed. The main contribution of this work is to show that an alternative is available to the EUT that is more suitable for human decision-makers modelling. The evidences show that rationality is not appropriated for modelling persons. Therefore, instead of fine-tuning the existent model the use of another one is proposed and evaluated. To tackle this, the route choice problem was adopted to perform the experiments. To evaluate the proposed model three traffic scenarios are simulated and their results analysed. KW - Mehragentensystem KW - Bestärkendes Lernen KW - Q-Learning KW - Route Entscheidung KW - MASim KW - Prospect Theory KW - Q-Learning KW - Route Choice KW - Traffic Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-40483 ER - TY - JOUR A1 - Zillober, Christian T1 - A globally convergent version of the method of moving asymptotes N2 - No abstract available Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-31984 ER - TY - JOUR A1 - Kredler, Christian A1 - Zillober, Christian A1 - Johannes, Frank A1 - Sigl, Georg T1 - An application of preconditioned conjugate gradients to relative placement in chip design N2 - In distance geometry problems and many other applications, we are faced with the optimization of high-dimensional quadratic functions subject to linear equality constraints. A new approach is presented that projects the constraints, preserving sparsity properties of the original quadratic form such that well-known preconditioning techniques for the conjugate gradient method remain applicable. Very-largescale cell placement problems in chip design have been solved successfully with diagonal and incomplete Cholesky preconditioning. Numerical results produced by a FORTRAN 77 program illustrate the good behaviour of the algorithm. Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-31996 ER - TY - CHAP A1 - Zillober, Christian T1 - Sequential convex programming in theory and praxis N2 - In this paper, convex approximation methods, suclt as CONLIN, the method of moving asymptotes (MMA) and a stabilized version of MMA (Sequential Convex Programming), are discussed with respect to their convergence behaviour. In an extensive numerical study they are :finally compared with other well-known optimization methods at 72 examples of sizing problems. Y1 - 1993 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-35513 ER - TY - THES A1 - Even, Nadine T1 - On Hydrodynamic Limits and Conservation Laws T1 - Über den Übergang von mikroskopischen Modellen zu makroskopischen Erhaltungsgleichungen N2 - No abstract available KW - Erhaltungsgleichungen KW - Zero Range Prozess KW - Hamilton Systeme KW - Hydrodynamische Grenzwerte KW - Conservation Laws KW - ZRP KW - Hamilton Sytstems KW - HDL Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-38374 ER - TY - THES A1 - Wissel, Julia T1 - A new biased estimator for multivariate regression models with highly collinear variables T1 - Ein neuer verzerrter Schätzer für lineare Regressionsmodelle mit stark korrelierten Regressoren N2 - Es ist wohlbekannt, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer im Falle vorhandener Multikollinearität eine große Varianz besitzt. Eine Möglichkeit dieses Problem zu umgehen, besteht in der Verwendung von verzerrten Schätzern, z.B den Ridge-Schätzer. In dieser Arbeit wird ein neues Schätzverfahren vorgestellt, dass auf Addition einer kleinen Konstanten omega auf die Regressoren beruht. Der dadurch erzeugte Schätzer wird in Abhängigkeit von omega beschrieben und es wird gezeigt, dass dessen Mean Squared Error kleiner ist als der des Kleinste-Quadrate-Schätzers im Falle von stark korrelierten Regressoren. N2 - It is well known, that the least squares estimator performs poorly in the presence of multicollinearity. One way to overcome this problem is using biased estimators, e.g. ridge regression estimators. In this study an estimation procedure is proposed based on adding a small quantity omega on some or each regressor. The resulting biased estimator is described in dependence of omega and furthermore it is shown that its mean squared error is smaller than the one corresponding to the least squares estimator in the case of highly correlated regressors. KW - Starke Kopplung KW - Korrelation KW - Regressionsanalyse KW - Kollinearität KW - Ridge-Regression KW - Lineare Regression KW - regression KW - ridge regression KW - collinearity KW - bias Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-36383 ER - TY - JOUR A1 - Lu, Yun-guang A1 - Klingenberg, Christian A1 - Rendon, Leonardo A1 - Zheng, De-Yin T1 - Global Solutions for a Simplified Shallow Elastic Fluids Model JF - Abstract and Applied Analytics N2 - The Cauchy problem for a simplified shallow elastic fluids model, one 3 x 3 system of Temple's type, is studied and a global weak solution is obtained by using the compensated compactness theorem coupled with the total variation estimates on the first and third Riemann invariants, where the second Riemann invariant is singular near the zero layer depth (rho - 0). This work extends in some sense the previous works, (Serre, 1987) and (Leveque and Temple, 1985), which provided the global existence of weak solutions for 2 x 2 strictly hyperbolic system and (Heibig, 1994) for n x n strictly hyperbolic system with smooth Riemann invariants. KW - conservation laws KW - hyperbolic systems Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-117978 SN - 1687-0409 IS - 920248 ER - TY - THES A1 - Geiselhart, Roman T1 - Advances in the stability analysis of large-scale discrete-time systems T1 - Fortschritte in der Stabilitätsanalyse großskaliger zeitdiskreter Systeme N2 - Several aspects of the stability analysis of large-scale discrete-time systems are considered. An important feature is that the right-hand side does not have have to be continuous. In particular, constructive approaches to compute Lyapunov functions are derived and applied to several system classes. For large-scale systems, which are considered as an interconnection of smaller subsystems, we derive a new class of small-gain results, which do not require the subsystems to be robust in some sense. Moreover, we do not only study sufficiency of the conditions, but rather state an assumption under which these conditions are also necessary. Moreover, gain construction methods are derived for several types of aggregation, quantifying how large a prescribed set of interconnection gains can be in order that a small-gain condition holds. N2 - Es werden großskalige zeitdiskrete Systeme betrachtet, deren rechte Seite nicht als stetig angenommen wird. Konstruktive Ansätze um Lyapunovfunktionen zu berechnen werden hergeleitet und auf mehrere Systemklassen angewandt. Für großskalige Systeme, die beschrieben sind durch die Kopplung kleinerer Systeme, wird eine neue Klasse von sogenannten Small-Gain Resultaten vorgestellt, die nicht verlangt, dass die Subsysteme robust sein müssen. Zudem untersuchen wir die Notwendigkeit der geforderten Bedingungen. Zusätzlich werden Gainkonstruktionsmethoden für verschiedene Typen von Verknüpfung hergeleitet, welche quantifizieren, wie groß eine vorgegebene Menge von Kopplungsgains sein kann, so dass eine Small-Gain-Bedingung erfüllt ist. KW - Ljapunov-Funktion KW - Konstruktionsmethoden KW - Ljapunov-Stabilitätstheorie KW - Nichtlineare Funktionalgleichung Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-112963 ER - TY - THES A1 - Schleißinger, Sebastian T1 - Embedding Problems in Loewner Theory T1 - Einbettungsprobleme in der Loewner-Theorie N2 - The work at hand studies problems from Loewner theory and is divided into two parts: In part 1 (chapter 2) we present the basic notions of Loewner theory. Here we use a modern form which was developed by F. Bracci, M. Contreras, S. Díaz-Madrigal et al. and which can be applied to certain higher dimensional complex manifolds. We look at two domains in more detail: the Euclidean unit ball and the polydisc. Here we consider two classes of biholomorphic mappings which were introduced by T. Poreda and G. Kohr as generalizations of the class S. We prove a conjecture of G. Kohr about support points of these classes. The proof relies on the observation that the classes describe so called Runge domains, which follows from a result by L. Arosio, F. Bracci and E. F. Wold. Furthermore, we prove a conjecture of G. Kohr about support points of a class of biholomorphic mappings that comes from applying the Roper-Suffridge extension operator to the class S. In part 2 (chapter 3) we consider one special Loewner equation: the chordal multiple-slit equation in the upper half-plane. After describing basic properties of this equation we look at the problem, whether one can choose the coefficient functions in this equation to be constant. D. Prokhorov proved this statement under the assumption that the slits are piecewise analytic. We use a completely different idea to solve the problem in its general form. As the Loewner equation with constant coefficients holds everywhere (and not just almost everywhere), this result generalizes Loewner’s original idea to the multiple-slit case. Moreover, we consider the following problems: • The “simple-curve problem” asks which driving functions describe the growth of simple curves (in contrast to curves that touch itself). We discuss necessary and sufficient conditions, generalize a theorem of J. Lind, D. Marshall and S. Rohde to the multiple-slit equation and we give an example of a set of driving functions which generate simple curves because of a certain self-similarity property. • We discuss properties of driving functions that generate slits which enclose a given angle with the real axis. • A theorem by O. Roth gives an explicit description of the reachable set of one point in the radial Loewner equation. We prove the analog for the chordal equation. N2 - Die vorliegende Arbeit behandelt Problemstellungen aus der Loewner-Theorie und besteht aus zwei Teilen: Im ersten Teil (Kapitel 2) werden zunächst die zentralen Begriffe der Loewner-Theorie vorgestellt. Hierbei wird eine moderne Form verwendet, die von F. Bracci, M. Contreras, S. Díaz-Madrigal et al. entwickelt wurde und auf gewisse mehrdimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten anwendbar ist. Im Näheren befassen wir uns dann mit dem euklidischen Einheitsball und dem Polyzylinder. Dabei betrachten wir zwei Klassen von biholomorphen Abbildungen, die von T. Poreda und G. Kohr eingeführt wurden und Verallgemeinerungen der Klasse S darstellen. Es wird eine Vermutung von G. Kohr über Stützpunkte dieser Klassen bewiesen. Der Beweis beruht auf der Beobachtung, dass diese Klassen sogennante Runge-Gebiete beschreiben, was aus einem Satz von L. Arosio, F. Bracci und E. F. Wold folgt. Des Weiteren beweisen wir eine Vermutung von G. Kohr über Stützpunkte einer Klasse von biholomorphen Abbildungen, die durch Anwendung des Roper-Suffridge-Erweiterungsoperators auf die Klasse S entsteht. Der zweite Teil der Arbeit (Kapitel 3) beschränkt sich auf eine spezielle Loewner-Gleichung: die chordale Mehrfachschlitz-Gleichung in der oberen Halbebene. Nach der Beschreibung einiger fundamentalen Eigenschaften wenden wir uns dem Problem zu, ob die Koeffizienten-Funktionen in dieser Gleichung bei einem gegebenen Mehrfachschlitz konstant gewählt werden können. Nachdem D. Prokhorov dieses Problem unter der Annahme, dass die vorgegebenen Schlitze stückweise analytisch sind, lösen konnte, benutzen wir eine grundlegend andere Herangehensweise, um dieses Problem allgemein zu lösen. Da bei konstanten Koeffizienten die Loewnersche Differentialgleichung überall (und nicht nur fast überall) gilt, verallgemeinert dieser Satz Loewners ursprüngliche Idee für den Mehrfachschlitz-Fall. Des Weiteren befassen wir uns mit folgenden Problemen: • Das “einfache-Kurven-Problem” stellt die Frage, welche Driftfunktionen das Wachstum von einfachen Kurven beschreibt (im Gegensatz zu Kurven, die sich selbst berühren). Wir diskutieren notwendige und hinreichende Bedingungen, verallgemeinern einen Satz von J. Lind, D. Marshall und S. Rohde für die Mehrfachschlitz-Gleichung und geben ein Beispiel einer Menge von Driftfunktionen, die einfache Kurven erzeugt, da sie eine gewisse Selbstähnlichkeitseigenschaft besitzt. • Wir diskutieren Eigenschaften von Driftfunktionen, die Schlitze erzeugen, welche mit der die reellen Achse einen festen Winkel einschließen. • Für die chordale Gleichung beweisen wir das Analogon eines Satzes von O. Roth, das die Erreichbarkeitsmenge eines Punktes in der radialen Loewner-Gleichung explizit beschreibt. KW - Loewner-Theorie KW - Loewner theory KW - Biholomorphe Abbildung KW - Differentialgleichung Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-96782 ER - TY - THES A1 - Reinwand, Simon T1 - Functions of Bounded Variation: Theory, Methods, Applications T1 - Funktionen beschränkter Variation: Theorie, Methoden, Anwendungen N2 - Functions of bounded variation are most important in many fields of mathematics. This thesis investigates spaces of functions of bounded variation with one variable of various types, compares them to other classical function spaces and reveals natural “habitats” of BV-functions. New and almost comprehensive results concerning mapping properties like surjectivity and injectivity, several kinds of continuity and compactness of both linear and nonlinear operators between such spaces are given. A new theory about different types of convergence of sequences of such operators is presented in full detail and applied to a new proof for the continuity of the composition operator in the classical BV-space. The abstract results serve as ingredients to solve Hammerstein and Volterra integral equations using fixed point theory. Many criteria guaranteeing the existence and uniqueness of solutions in BV-type spaces are given and later applied to solve boundary and initial value problems in a nonclassical setting. A big emphasis is put on a clear and detailed discussion. Many pictures and synoptic tables help to visualize and summarize the most important ideas. Over 160 examples and counterexamples illustrate the many abstract results and how delicate some of them are. N2 - Funktionen beschränkter Variation sind in vielen Bereichen der Mathematik besonders wichtig. Diese Dissertation untersucht Räume von Funktionen einer Variable von beschränkter Variation unterschiedlichen Typs, vergleicht sie mit klassischen Funktionenräumen und enthüllt natürliche „Lebensräume“ von BV-Funktionen. Neue und umfassende Ergebnisse über Abbildungseigenschaften wie Surjektivität und Injektivität, verschiedene Arten von Stetigkeit und Kompaktheit von linearen und nichtlinearen Operatoren zwischen solchen Räumen werden präsentiert. Eine neue Theorie über verschiedene Konvergenzarten von solchen Operatoren wird entwickelt und schließlich auf einen neuen Beweis für die Stetigkeit des Kompositionsoperators im klassischen BV-Raum angewendet. Diese abstrakten Ergebnisse dienen als Zutat für die Lösung von Hammerstein- und Volterra-Integralgleichungen mithilfe von Fixpunktsätzen. Diese liefern viele Kriterien, welche die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen garantieren, die sodann auf Anfangs- und Randwertprobleme in einem nichtklassischen Setting angewendet werden. Besonders Augenmerk liegt auf einer klaren und detaillierte Darstellung. Viele Abbildungen und Tabellen helfen, die wichtigsten Ideen zu visualisieren und zusammenzufassen. Über 160 Beispiele und Gegenbeispiele illustrieren die abstrakten Ergebnisse und zeigen deren Grenzen. KW - Funktion von beschränkter Variation KW - Nichtlinearer Operator KW - Integralgleichung KW - Fixpunktsatz KW - Gleichmäßige Konvergenz KW - Mapping Properties KW - Abbildungseigenschaften KW - Functions with Primitive KW - Funktionen mit Stammfunktion KW - Linearer Operator KW - Operatortheorie Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-235153 SN - 9783736974036 PB - Cuvillier-Verlag, Göttingen ER - TY - THES A1 - Nguyen, Danh Nam T1 - Understanding the development of the proving process within a dynamic geometry environment T1 - Das Verständnis der Entwicklung des Beweisprozesses in einem Dynamischen Geometrie System N2 - Argumentation and proof have played a fundamental role in mathematics education in recent years. The author of this dissertation would like to investigate the development of the proving process within a dynamic geometry system in order to support tertiary students understanding the proving process. The strengths of this dynamic system stimulate students to formulate conjectures and produce arguments during the proving process. Through empirical research, we classified different levels of proving and proposed a methodological model for proving. This methodological model makes a contribution to improve students’ levels of proving and develop their dynamic visual thinking. We used Toulmin model of argumentation as a theoretical model to analyze the relationship between argumentation and proof. This research also offers some possible explanation so as to why students have cognitive difficulties in constructing proofs and provides mathematics educators with a deeper understanding on the proving process within a dynamic geometry system. N2 - Argumentation und Beweis haben eine fundamentale Rolle in der Mathematikdidaktik in den letzten Jahren gespielt. Der Autor der vorliegenden Arbeit möchte die Entwicklung des Prozesses beweisen, in einer dynamischen Geometrie-System zu untersuchen, um das Verständnis der Studierenden im Tertiärbereich beweisen Prozess zu unterstützen. Die Stärken dieses dynamische System stimulieren Studierenden Vermutungen zu formulieren und Argumente zu produzieren während des Beweisprozesses. Durch empirische Forschung, klassifiziert wir verschiedene Niveaustufen zu beweisen und schlugen ein methodisches Modell für Beweisprozesse. Dieser methodologische Modell leistet einen Beitrag zur studentischen Niveaustufen des Beweises zu verbessern und entwickeln ihre dynamische-visuelle Denken. Wir verwendeten das Argumentationsmodell von Toulmin als theoretisches Modell, die Beziehung zwischen Argumentation und Beweis zu analysieren. Diese Forschung bietet auch einige mögliche Erklärung dafür, warum so Studierenden haben kognitive Schwierigkeiten bei der Beweis-Konstruktion und liefert Pädagogen mit einem tieferen Verständnis auf der Beweisprozess in einem dynamischen Geometriesystem. KW - Argumentation KW - Beweistheorie KW - Mathematikunterricht KW - Argumentation KW - Proof KW - Proving Level KW - Interactive Help System KW - Dynamic Geometry Environment KW - Niveaustufen des Beweises KW - Toulmin Modell KW - Hilfe-System KW - Dynamische Geometriesysteme Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-71754 ER - TY - JOUR A1 - Schäffner, M. A1 - Schlömerkemper, A. T1 - On Lennard-Jones systems with finite range interactions and their asymptotic analysis JF - Networks and Heterogeneous Media N2 - The aim of this work is to provide further insight into the qualitative behavior of mechanical systems that are well described by Lennard-Jones type interactions on an atomistic scale. By means of Gamma-convergence techniques, we study the continuum limit of one-dimensional chains of atoms with finite range interactions of Lennard-Jones type, including the classical Lennard-Jones potentials. So far, explicit formula for the continuum limit were only available for the case of nearest and next-to-nearest neighbour interactions. In this work, we provide an explicit expression for the continuum limit in the case of finite range interactions. The obtained homogenization formula is given by the convexification of a Cauchy-Born energy density. Furthermore, we study rescaled energies in which bulk and surface contributions scale in the same way. The related discrete-to-continuum limit yields a rigorous derivation of a one-dimensional version of Griffith' fracture energy and thus generalizes earlier derivations for nearest and next-to-nearest neighbors to the case of finite range interactions. A crucial ingredient to our proofs is a novel decomposition of the energy that allows for re fined estimates. KW - Discrete-to-continuum limits KW - atomistic models KW - Gamma-convergence KW - Cauchy-Born rule KW - variational fracture Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-228428 VL - 13 IS - 1 ER - TY - THES A1 - Dirr, Gunther T1 - Differentialgleichungen in Frécheträumen T1 - Differential equations in Fréchet Spaces N2 - Teil 1 der Arbeit beinhaltet eine Zusammenfassung grundlegender funktionalanalytischer Ergebnisse sowie eine Einführung in die Integral- und Differentialrechnung in Frécheträumen. Insbesondere wird in Kapitel 2 eine ausführliche Darstellung des Lebesgue-Bochner-Integrals auf Frécheträumen geliefert. Teil 2 behandelt die Theorie der linearen Differentialgleichungen auf Frécheträumen. Dazu werden in Kapitel 3 stark differenzierbare Halbgruppen und deren infinitesimale Generatoren charakterisiert. In Kapitel 4 werden diese Ergebnisse benutzt, um lineare Evolutionsgleichungen (von hyperbolischem oder parabolischem Typ) zu untersuchen. Teil 3 enthält die zentralen Resultate der Arbeit. In Kapitel 5 werden zwei Existenz- und Eindeutigkeitssätze für nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen in zahmen Frécheträumen bewiesen. Kapitel 6 liefert eine Anwendung der Ergebnisse aus Kapitel 5 auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. N2 - The first part of this thesis gives a summary on some basic results in functional analysis and an introduction to calculus in Fréchet spaces. Particularly, a detailed treatment of the Lebesgue-Bochner integral in Fréchet spaces is developed in chapter 2. Part 2 is devoted to the theory of linear differential equations in Fréchet spaces. Strongly differential semigroups and their infinitesimal generators are characterized in chapter 3. These results are used in chapter 4 to study linear evolution equations (of hyperbolic or parabolic type). The main results of this thesis are contained in part 3. In chapter 5 two existence and uniqueness theorems for nonlinear ordinary differential equations in tame Fréchet spaces are proved. Theses results are applied in chapter 6 to nonlinear partial differential equations of first order. KW - Differentialgleichung KW - Fréchet-Raum KW - gewöhnliche Differentialgleichungen KW - partielle Differentialgleichungen KW - Frécheträume KW - ordinary differential equations KW - partial differential equations KW - Fréchet spaces Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-1180417 ER - TY - THES A1 - Dittmann, Ulrich T1 - Coset Types and Tight Subgroups of Almost Completely Decomposable Groups T1 - Nebenklassentypen und tight Untergruppen von fast vollständig zerlegbaren Gruppen N2 - A completely decomposable group is a direct sum of subgroups of the rationals. An almost completely decomposable group is a torsion free abelian group that contains a completely decomposable group as subgroup of finite index. Tight subgroups are maximal subgroups (with respect to set inclusion) among the completely decomposable subgroups of an almost completely decomposable group. In this dissertation we show an extended version of the theorem of Bezout, give a new criterion for the tightness of a completely decomposable subgroup, derive some conditions under which a tight subgroup is regulating and generalize a theorem of Campagna. We give an example of an almost completely decomposable group, all of whose regulating subgroups do not have a quotient with minimal exponent. We show that among the types of elements of a coset modulo a completely decomposable group there exists a unique maximal type and define this type to be -the- coset type. We give criteria for tightness and regulating in term of coset types as well as a representation of the type subgroups using coset types. We introduce the notion of reducible cosets and show their key role for transitions from one completely decomposable subgroup up to another one containing the first one as a proper subgroup. We give an example of a tight, but not regulating subgroup which contains the regulator. We develop the notion of a fully single covered subset of a lattice, show that V-free implies fully single covered, but not necessarily vice versa, and we define an equivalence relation on the set of all finite subsets of a given lattice. We develop some extension of ordinary Hasse diagrams, and apply the lattice theoretic results on the lattice of types and almost completely decomposable groups. N2 - Eine vollständig zerlegbare Gruppe ist eine direkte Summe von Untergruppen der rationalen Zahlen. Eine fast vollständig zerlegbare Gruppe ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe, die eine vollständig zerlegbare Gruppe als Untergruppe von endlichem Index enthält. Tight Untergruppen sind bezüglich Mengeninklusion maximale Elemente der Menge der vollständig zerlegbaren Untergruppen einer fast vollständig zerlegbaren Gruppe. In dieser Dissertation zeigen wir eine erweiterte Version des Satzes von Bezout, geben ein neues Kriterium an, mit dem festgestellt werden kann, ob eine Untergruppe tight ist, leiten daraus einige Bedingungen ab, unter denen eine tight Untergruppe regulierend ist, und verallgemeinern einen Satz von Campagna. Wir geben ein Beispiel einer fast vollständig zerlegbaren Gruppe an, deren sämtliche regulierende Untergruppen nicht minimalen Exponenten des Quotienten haben. Wir zeigen, daß unter den Typen der Elemente einer Nebenklasse modulo einer vollständig zerlegbaren Gruppe ein eindeutig definierter maximaler Typ existiert und nennen diesen Typen -den- Nebenklassentypen. Wir geben Kriterien für tight und regulierend mit Hilfe von Nebenklassentypen, sowie eine Darstellung der Typenuntergruppen. Wir führen den Begriff der reduziblen Nebenklassen ein und zeigen die Schlüsselrolle, die diese beim Übergang von einer vollständig zerlegbaren Untergruppe zu einer anderen, die die erste enthält, haben. Wir geben ein Beispiel einer tight Untergruppe an, die nicht regulierend ist, aber den Regulator enthält. Wir führen den Begriff einer "fully single covered" Untermenge eines Verbandes ein, zeigen daß V-frei "fully single covered" impliziert, aber nicht umgekehrt, und definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller endlichen Untermengen eines Verbandes. Wir entwickeln eine Erweiterung der üblichen Hasse Diagramme und wenden die verbandstheoretischen Ergebnisse auf die Typenmenge fast vollständig zerlegbarer Gruppen an. KW - Torsionsfreie Abelsche Gruppe KW - Untergruppe KW - Restklasse KW - Regulator KW - fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - tight KW - regulierend KW - Regulator KW - almost completely decomposable group KW - tight KW - regulating KW - regulator Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2762 ER - TY - THES A1 - Keilbach, Rupert T1 - Minimalflächen und Björlingsches Problem in der Relativgeometrie T1 - Minimal surfaces and Björling's problem in relative geometry N2 - In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Themen aus der affinen Hyperflächentheorie. Nachdem wir die euklidische Normale, die Blaschkesche Affinnormale, eine gewisse Einparameterfamilie von Relativnormalen und die zentroaffine Normale besprochen und eine neue Einparameterfamilie von Relativnormalen definiert haben, behandeln wir die folgenden drei Schwerpunkte: Zuerst befassen wir uns mit Minimalflächen bezüglich verschiedener Volumina und der Rolle der jeweiligen Mittleren Krümmung. Wir berechnen die erste und zweite Variation der Volumina, die von den Normalen der erwähnten Familien induziert werden. Hierbei stellen wir fest, daß die Mittlere Krümmung nicht immer das Verschwinden der ersten Variation des Volumens anzeigt. Anschließend übertragen wir die Begriffe Adjungierte und Assoziierte bei euklidischen Minimalflächen auf Affinminimalflächen: Analog zum euklidischen Fall kann man die Konormale einer Affinminimalfläche durch bestimmte ,,harmonische'' Abbildungen darstellen. Wir geben eine Methode an, wie man aus einer gegebenen Affinminimalfläche weitere gewinnt, indem man diese Abbildungen entsprechend modifiziert. Schließlich lösen wir eine Verallgemeinerung des Björlingschen Problems für Normalen der oben erwähnten Familien: Bei Vorgabe einer Kurve mit zwei Vektorfeldern und der Art der Normalisierung existiert - mit Ausnahmen - je genau eine elliptische und eine hyperbolische Fläche in (pseudo-)isothermen Parametern mit folgenden Eigenschaften: Die Kurve ist eine Parameterlinie, die Normale längs der Kurve stimmt mit dem einen Vektorfeld überein, die Konormale mit dem anderen und die Mittlere und Gaußsche Krümmung erfüllen eine vorgegebene Bedingung. N2 - In this paper we deal with topics of the theory of affine hypersurfaces. After having discussed the euclidean normal, the Blaschke affine normal, a certain one-parameter family of relative normals, and the centroaffine normal and having defined a new one-parameter family of relative normals we treat the following three main subjects: First we examine minimal surfaces relative to different volumes and the influence of the respective mean curvature. We compute the first and second variation of the volumes induced by the normals of the mentioned families. With this we state that the mean curvature does not indicate allways the vanishing of the first variation of the volume. Subsequently we extend the terms adjoint and associated surfaces from euclidean minimal surfaces to affine minimal surfaces: In a similar way as in the euclidean case one can represent the conormal of an affine minimal surface by certain ''harmonic'' mappings. We present a method how to obtain from a given affine minimal surface other ones by modifying these mappings accordingly. Finally we solve a generalization of Björling' s problem for normals of the families mentioned above: Given a curve with two vector fields and the kind of the normalisation there exists - with exceptions - both a unique elliptic and a unique hyperbolic surface in (pseudo-)isothermic parameters with the following properties: The curve is a parameter line, the normal along the curve corresponds with one of the vector fields, the conormal with the other one, and the mean and Gaussian curvature satisfy a given condition. KW - Minimalfläche KW - Relativnormale KW - Relativnormale KW - Affinnormal KW - euklidische Normale KW - zentroaffine Normale KW - Volumen KW - Affinminimalfläche KW - Minimalfläche KW - Mittlere Krümmung KW - relative normal KW - affine normal KW - euclidean normal KW - centroaffine normal KW - volume KW - affine minimal surface KW - minimal surface KW - mean curvature Y1 - 2000 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2782 ER - TY - THES A1 - Keßler, Manuel T1 - Die Ladyzhenskaya-Konstante in der numerischen Behandlung von Strömungsproblemen T1 - Ladyzhenskaya's Constant in the Numerical Treatment of Fluid Flow Problems N2 - Charakteristisch für die Lösbarkeit von elliptischen partiellen Differentialgleichungssystemen mit Nebenbedingungen ist das Auftreten einer inf-sup-Bedingung. Im prototypischen Fall der Stokes-Gleichungen ist diese auch als Ladyzhenskaya-Bedingung bekannt. Die Gültigkeit dieser Bedingung, bzw. die Existenz der zugehörigen Konstante ist eine Eigenschaft des Gebietes, innerhalb dessen die Differentialgleichung gelöst werden soll. Während die Existenz schon die Lösbarkeit garantiert, ist beispielsweise für Fehleraussagen bei der numerischen Approximation auch die Größe der Konstanten sehr wichtig. Insbesondere auch deshalb, weil eine ähnliche inf-sup-Bedingung auch bei der Diskretisierung mittel Finiter-Elemente-Methoden auftaucht, die hier Babuska-Brezzi-Bedingung heißt. Die Arbeit befaßt sich auf der einen Seite mit einer analytischen Abschätzung der Ladyzhenskaya-Konstante für verschiedene Gebiete, wobei Äquivalenzen mit verwandten Problemen aus der komplexen Analysis (Friedrichs-Ungleichung) und der Strukturmechanik (Kornsche Ungleichung) benutzt werden. Ein weiterer Teil befaßt sich mit dem Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Ladyzhenskaya- Konstante und diskreter Babuska-Brezzi-Konstante. Die dabei gefundenen Ergebnisse werden mit Hilfe eines dazu entwickelten leistungsfähigen Finite-Elemente-Programmsystems numerisch verifiziert. Damit können erstmals genaue Abschätzungen der Konstanten in zwei und drei Dimensionen gefunden werden. Aufbauend auf diesen Resultaten wird ein schneller Lösungsalgorithmus für die Stokes-Gleichungen vorgeschlagen und anhand von problematischen Gebieten dessen Überlegenheit gegenüber klassischen Verfahren wie beispielsweise der Uzawa-Iteration demonstriert. Während selbst bei einfachen Geometrien eine Konvergenzbeschleunigung um einen Faktor 5 erwartet werden kann, sind in kritischen Fällen Faktoren bis zu 1000 möglich. N2 - Characteristic for the existence and uniqueness of solutions of elliptic partial differential equation systems with constraints is the occurence of an inf-sup condition. For the typical example of Stokes's equations this is known as Ladyzhenskaya's condition. The validity of this condition or the existence of the corresponding constant is a property of the solution domain under consideration. While simple existence is sufficient for existence and uniqueness of a solution, the size of the constant is also of great interest, for example for error estimation of numerical approximations. An equivalent inf-sup condition is known for finite element discretisations of Stokes's equations. In this context it is called Babuska-Brezzi condition. This thesis is partly concerned with analytical estimates for the size of Ladyzhenskaya's constant. Since the problem is equivalent with another one from complex analysis (Friedrichs's inequality) and one from structural mechanics (Korn's equation), simpler techniques valid for those equations are used for the analysis of the present case. Another topic is the correspondence between the continous condition of Ladyzhenskaya and the discrete one of Babuska-Brezzi. The analytical findings are numerically verified by computations with a specially developed finite element system. For the first time precise estimates for the constants in two and three dimensions may be found. Using these results a fast solution algorithm for Stokes's equations is proposed. On some problematic domains it is demonstrated that the new algorithm is far superior to classic algorithms like Uzawa's iteration. While for simple geometries convergence is sped up by a factor of 5, in critical situations even a 1000 times faster convergence is possible. KW - Stokes-Gleichung KW - Stabilität KW - Finite-Elemente-Methode KW - Ladyzhenskaya Konstante KW - Babuska Brezzi Bedingung KW - Stokes Gleichung KW - Finite Elemente Methode KW - Uzawa Verfahren KW - Spektraltheorie KW - Eigenwert KW - Ladyzhenskaya constant KW - Babuska Brezzi condition KW - Stokes equation KW - finite element method KW - Uzawa iteration KW - spectral theory Y1 - 2000 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2791 ER - TY - THES A1 - Nahler, Michael T1 - Isomorphism classes of almost completely decomposable groups T1 - Isomorphieklassen fast vollständig zerlegbarer Gruppen N2 - In this thesis we investigate near-isomorphism classes and isomorphism classes of almost completely decomposable groups. In Chapter 2 we introduce the concept of almost completely decomposable groups and sum up their most important facts. A local group is an almost completely decomposable group with a primary regulator quotient. A uniform group is a rigid local group with a homocyclic regulator quotient. In Chapter 3 a weakening of isomorphism, called type-isomorphism, appears. It is shown that type-isomorphism agrees with Lady's near-isomorphism. By the Main Decomposition Theorem and the Primary Reduction Theorem we are allowed to restrict ourselves on clipped local groups, namely groups without a direct rank-one summand. In Chapter 4 we collect facts of matrices over commutative rings with an identity element. Matrices over the local ring (Z / p^e Z) of residue classes of the rational integers modulo a prime power play an important role. In Chapter 5 we introduce representing matrices of finite essential extensions. Here a normal form for local groups is found by the Gauß algorithm. Uniform groups have representing matrices in Hermite normal form. The classification problems for almost completely decomposable groups up to isomorphism and up to near-isomorphism can be rephrased as equivalence problems for the representing matrices. In Chapter 6 we derive a criterion for the representing matrices of local groups in Gauß normal form. In Chapter 7 we formulate the matrix criterion for uniform groups. Two representing matrices in Hermite normal form describe isomorphic groups if and only if the rest blocks of the representing matrices are T-diagonally equivalent. Starting from a fixed near-isomorphism class in Chapter 8 we investigate isomorphism classes of uniform groups. We count groups and isomorphism classes. In Chapter 9 we specialize on uniform groups of rank 2r with a regulator quotient of rank r such that the rest block of the representing matrix is invertible and normed. N2 - In dieser Dissertation untersuchen wir Near-Isomorphieklassen und Isomorphieklassen von fast vollständig zerlegbaren Gruppen. In Kapitel 2 führen wir den Begriff von fast vollständig zerlegbaren Gruppen ein und fassen ihre wichtigsten Eigenschaften zusammen. Eine lokale Gruppe ist eine fast vollständig zerlegbaren Gruppe mit einem primären Regulatorquotienten. Eine uniforme Gruppe ist eine rigid lokale Gruppe mit einem homozyklischen Regulatorquotienten. In Kapitel 3 erscheint eine Abschwächung von Isomorphie, genannt Typ-Isomorphie. Es wurde gezeigt, dass Typ-Isomorphie mit der Near-Isomorphie von Lady übereinstimmt. Wegen des Hauptzerlegungssatzes und des primären Reduktionssatzes können wir uns auf clipped lokale Gruppen beschränken, also Gruppen ohne direkten Rang-eins Summanden. In Kapitel 4 sammeln wir Eigenschaften von Matrizen über kommutativen Ringen mit Eins. Matrizen über dem lokalen Ring (Z / p^e Z) von Restklassen modulo einer Primzahlpotenz spielen eine wichtige Rolle. In Kapitel 5 führen wir Darstellungsmatrizen von endlichen wesentlichen Erweiterungen ein. Hier wird eine Normalform für lokale Gruppen mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus gefunden. Uniforme Gruppen haben eine Darstellungsmatix in Hermite Normalform. Die Klassifikationsprobleme von fast vollständig zerlegbaren Gruppen bis auf Isomorphie und bis auf Near-Isomorphie können als Äquivalenzprobleme für die Darstellungsmatrizen umformuliert werden. In Kapitel 6 leiten wir ein Kriterium ab für die Darstellungsmatrizen von lokalen Gruppen in Gaußscher Normalform. In Kaptel 7 formulieren wir das Matrixkriterium für uniforme Gruppen. Zwei Darstellungsmatrizen in Hermite Normalform beschreiben genau dann isomorphe Gruppen, wenn die Restblöcke ihrer Darstellungsmatrizen T-diagonal äquivalent sind. Ausgehend von einer festgehaltenen Near-Isomorphieklasse untersuchen wir Isomorphieklassen von uniformen Gruppen in Kapitel 8. Wir zählen Gruppen und Isomorphieklassen. In Kapitel 9 spezialisieren wir uns auf uniforme Gruppen vom Rang 2r und mit einem Regulatorquotienten vom Rang r, so dass der Restblock der Darstellungsmatrix invertierbar und normiert ist. KW - Fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - Isomorphieklasse KW - Darstellungsmatrix KW - fast vollständig zerlegbare Gruppe KW - isomorph KW - near-isomorph KW - Isomorphie KW - Near-Isomorphie KW - Darstellungsmatrix KW - almost completely decomosable group KW - isomorphic KW - near-isomorphic KW - isomorpism KW - near-isomorphism KW - representing matrix Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-2817 ER - TY - THES A1 - Kramer, Helmut T1 - Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen T1 - Incidence matrices of finite projective planes N2 - Ziel dieser Arbeit ist eine computerunterstützte Suche nach, bis auf Isomorphie, allen projektiven Ebenen zu einer gegebenen Ordnung durch Berechnung ihrer Inzidenzmatrix. Dies gelingt durch geeignete Vorstrukturierung der Matrix mit Hilfe der Doppelordnung bis Ordnung 9 auf einem aktuellen PC. In diesem Zusammenhang ist insbesondere durch einen genügend schnellen Algorithmus das Problem zu lösen, ob zwei Inzidenzmatrizen zu derselben projektiven Ebene gehören. Die besondere Struktur, die die berechneten Beispiele von doppelgeordneten Inzidenzmatrizen der desarguesschen Ebenen aufzeigen, wird zudem durch theoretische Überlegungen untermauert. In einem letzten Kapitel wird noch eine Verbindung der projektiven Ebenen zu besonderen Blockplänen geschaffen. N2 - In this dissertation we go on a computer search for all finite projective planes of a certain order by calculating its incidence matrix. By double ordering of the matrix we can handle this problem up to order 9 on an ordinary PC. In this context we have to solve the problem, whether two incidence matrices are from the same plane, by creating a sufficient fast algorithm. Furthermore we clarify the pretty symmetry of the computed double ordered incidence matrices of the desarguan planes even by theoretical approach. In the last chapter we study a connection between the projective planes and a special kind of block designs. KW - Projektive Ebene KW - Matrix KW - Berechnung KW - Geometrie KW - projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Blockplan KW - Kombinatorik KW - geometry KW - projective plane KW - incidence matrix KW - block design KW - combinatorial theory Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-11215 ER - TY - THES A1 - Flegel, Michael L. T1 - Constraint qualifications and stationarity concepts for mathematical programs with equilibrium constraints T1 - Regularitätsbedingungen und Stationaritätskonzepte für Mathematische Programme mit Gleichgewichtsnebenbedingungen N2 - An exhaustive discussion of constraint qualifications (CQ) and stationarity concepts for mathematical programs with equilibrium constraints (MPEC) is presented. It is demonstrated that all but the weakest CQ, Guignard CQ, are too strong for a discussion of MPECs. Therefore, MPEC variants of all the standard CQs are introduced and investigated. A strongly stationary point (which is simply a KKT-point) is seen to be a necessary first order optimality condition only under the strongest CQs, MPEC-LICQ, MPEC-SMFCQ and Guignard CQ. Therefore a whole set of KKT-type conditions is investigated. A simple approach is given to acquire A-stationarity to be a necessary first order condition under MPEC-Guiganrd CQ. Finally, a whole chapter is devoted to investigating M-stationary, among the strongest stationarity concepts, second only to strong stationarity. It is shown to be a necessary first order condition under MPEC-Guignard CQ, the weakest known CQ for MPECs. KW - Nichtlineare Optimierung KW - MPEC KW - MPCC KW - M-Stationär KW - Guignard CQ KW - MPEC KW - MPCC KW - M-stationarity KW - Guignard CQ Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-12453 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Tewes, Bernward A1 - Dinges, Peter T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS Statistical Analysis System). Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first two chapters can be dealt with in the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 3, 4 and 5 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific part, including the diagrams generated with SAS, always starts with a computer symbol, representing the beginning of a session at the computer, and ends with a printer symbol for the end of this session. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Time series analyses KW - SAS Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-12593 ER - TY - THES A1 - Trumpf, Jochen T1 - On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory T1 - Über die Geometrie und Parametrisierung von fast invarianten Unterräumen und Beobachtertheorie N2 - In my Ph.D. thesis "On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory" I consider the set of almost conditioned invariant subspaces of fixed dimension for a given fixed linear finite-dimensional time-invariant observable control system in state space form. Almost conditioned invariant subspaces were introduced by Willems. They generalize the concept of a conditioned invariant subspace requiring the invariance condition to hold only up to an arbitrarily small deviation in the metric of the state space. One of the goals of the theory of almost conditioned invariant subspaces was to identify the subspaces appearing as limits of sequences of conditioned invariant subspaces. An example due to {\"O}zveren, Verghese and Willsky, however, shows that the set of almost conditioned invariant subspaces is not big enough. I address this question in a joint paper with Helmke and Fuhrmann (Towards a compactification of the set of conditioned invariant subspaces, Systems and Control Letters, 48(2):101-111, 2003). Antoulas derived a description of conditioned invariant subspaces as kernels of permuted and truncated reachability matrices of controllable pairs of the appropriate size. This description was used by Helmke and Fuhrmann to construct a diffeomorphism from the set of similarity classes of certain controllable pairs onto the set of tight conditioned invariant subspaces. In my thesis I generalize this result to almost conditioned invariant subspaces describing them in terms of restricted system equivalence classes of controllable triples. Furthermore, I identify the controllable pairs appearing in the kernel representations of conditioned invariant subspaces as being induced by corestrictions of the original system to the subspace. Conditioned invariant subspaces are known to be closely related to partial observers. In fact, a tracking observer for a linear function of the state of the observed system exists if and only if the kernel of that function is conditioned invariant. In my thesis I show that the system matrices of the observers are in fact the corestrictions of the observed system to the kernels of the observed functions. They in turn are closely related to partial realizations. Exploring this connection further, I prove that the set of tracking observer parameters of fixed size, i.e. tracking observers of fixed order together with the functions they are tracking, is a smooth manifold. Furthermore, I construct a vector bundle structure for the set of conditioned invariant subspaces of fixed dimension together with their friends, i.e. the output injections making the subspaces invariant, over that manifold. Willems and Trentelman generalized the concept of a tracking observer by including derivatives of the output of the observed system in the observer equations (PID-observers). They showed that a PID-observer for a linear function of the state of the observed system exists if and only if the kernel of that function is almost conditioned invariant. In my thesis I replace PID-observers by singular systems, which has the advantage that the system matrices of the observers coincide with the matrices appearing in the kernel representations of the subspaces. In a second approach to the parametrization of conditioned invariant subspaces Hinrichsen, M{\"u}nzner and Pr{\"a}tzel-Wolters, Fuhrmann and Helmke and Ferrer, F. Puerta, X. Puerta and Zaballa derived a description of conditioned invariant subspaces in terms of images of block Toeplitz type matrices. They used this description to construct a stratification of the set of conditioned invariant subspaces of fixed dimension into smooth manifolds. These so called Brunovsky strata consist of all the subspaces with fixed restriction indices. They constructed a cell decomposition of the Brunovsky strata into so called Kronecker cells. In my thesis I show that in the tight case this cell decomposition is induced by a Bruhat decomposition of a generalized flag manifold. I identify the adherence order of the cell decomposition as being induced by the reverse Bruhat order. N2 - In meiner Doktorarbeit "On the geometry and parametrization of almost invariant subspaces and observer theory" betrachte ich die Menge der fast (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension zu einem vorgegebenen linearen endlichdimensionalen zeitinvarianten beobachtbaren Kontrollsystem in Zustandsraumdarstellung. Der Begriff der fast (C,A)-invarianten Unterräume geht auf Willems zurück. Er verallgemeinert das Konzept eines (C,A)-invarianten Unterraums dahingehend, daß die Invarianzeigenschaft nur bis auf eine beliebig kleine Abweichung in der Metrik des Zustandsraumes erfüllt sein muß. Eines der Ziele der Theorie der fast (C,A)-invarianten Unterräume war es, diejenigen Unterräume zu charakterisieren, die als Grenzwerte von Folgen (C,A)-invarianter Unterräume auftreten. Özveren, Verghese und Willsky haben jedoch ein Beispiel angegeben, das zeigt, daß die Menge der fast (C,A)-invarianten Unterräume hierfür nicht groß genug ist. Auf diese Problematik gehe ich in einer gemeinsamen Arbeit mit U. Helmke und P.A. Fuhrmann (Towards a compactification of the set of conditioned invariant subspaces, Systems and Control Letters, 48(2):101-111, 2003) ein, die nicht Teil meiner Dissertation ist. Antoulas hat eine Beschreibung von (C,A)-invarianten Unterräumen als Kerne von permutierten und abgeschnittenen Erreichbarkeitsmatrizen geeigneter Größe angegeben. Diese Beschreibung benutzen Fuhrmann und Helmke um einen Diffeomorphismus von der Menge der Ähnlichkeitsklassen bestimmter kontrollierbarer Matrizenpaare auf die Menge der "tight" (C,A)-invarianten Unterräume zu konstruieren. In meiner Dissertation verallgemeinere ich dieses Resultat auf fast (C,A)-invariante Unterräume, indem ich sie mit Hilfe von "restricted system equivalence"-Klassen kontrollierbarer Matrizentripel darstelle. Darüberhinaus identifiziere ich die kontrollierbaren Matrizenpaare, die in der Kerndarstellung (C,A)-invarianter Unterräume auftreten, als Korestriktionen des ursprünglichen Systems auf den jeweiligen Unterraum. Es besteht eine enge Verbindung zwischen (C,A)-invarianten Unterräumen und partiellen Beobachtern. In der Tat existiert ein "tracking" Beobachter für eine lineare Funktion des Zustandes des beobachteten Systems genau dann, wenn der Kern dieser Funktion (C,A)-invariant ist. In meiner Dissertation zeige ich, daß die Systemmatrizen der Beobachter mit den Korestriktionen des beobachteten Systems auf die Kerne der beobachteten Funktionen übereinstimmen. Diese wiederum stehen in enger Beziehung zu partiellen Realisierungen. Weiter beweise ich, daß die Menge der "tracking" Beobachter-Parameter fester Größe, das heißt der "tracking" Beobachter fester Ordnung zusammen mit den beobachteten Funktionen, eine glatte Mannigfaltigkeitsstruktur trägt. Ich konstruiere eine Vektorbündelstruktur auf der Menge der (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension zusammen mit ihren "Freunden", das heißt den "output injections", welche den jeweiligen Unterraum invariant machen, wobei die Beobachtermannigfaltigkeit als Basisraum dient. Willems und Trentelman haben das Konzept eines "tracking" Beobachter verallgemeinert, indem sie auch Ableitungen des Ausgangs des beobachteten Systems in die Beobachtergleichungen aufnahmen (PID-Beobachter). Sie haben gezeigt, daß ein PID-Beobachter für eine lineare Funktion des Zustands des beobachteten Systems genau dann existiert, wenn der Kern dieser Funktion fast (C,A)-invariant ist. In meiner Dissertation ersetze ich die PID-Beobachter durch singuläre Systeme, was den Vorteil hat, daß die Systemmatrizen des Beobachters mit den Matrizen übereinstimmen, die in der Kerndarstellung des Unterraums auftauchen. (C,A)-invariante Unterräume lassen sich auch als Bildräume von Block-Toeplitz-Matrizen beschreiben. Hinrichsen, Münzner und Prätzel-Wolters, Fuhrmann und Helmke, und Ferrer, F. Puerta, X. Puerta und Zaballa benutzen diesen Zugang, um eine Stratifizierung der Menge der (C,A)-invarianten Unterräume fester Dimension in glatte Mannigfaltigkeiten zu konstruieren. Diese sogenannten Brunovsky-Strata bestehen aus all den Unterräumen, für die die Einschränkung des Systems auf den Unterraum jeweils vorgegebene Beobachtbarkeitsindizes hat. Obige Autoren konstruieren auch eine Zellzerlegung der Brunovsky-Strata in sogenannte Kronecker-Zellen. In meiner Dissertation zeige ich, daß im "tight" Fall diese Zellzerlegung von einer Bruhat-Zerlegung einer verallgemeinerten Fahnenmannigfaltigkeit induziert wird. Ich identifiziere die Adhärenzordnung der Zellzerlegung als inverse Bruhat-Ordnung. KW - Invarianter Unterraum KW - Kontrollsystem KW - geometrische Kontrolltheorie KW - Parametrisierung KW - Unterräume KW - Beobachter KW - geometric control KW - parametrization KW - subspaces KW - observer Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-5034 ER - TY - THES A1 - Vodopivec, Andrija T1 - Quasibasen abelscher, nichtseparabler p-Gruppen T1 - Quasibases of abelian, non-separable p-groups N2 - In dieser Arbeit wird der Bau der (abzählbaren) abelschen p-Gruppen untersucht, durch die Betrachtung der dazugehörigen Quasibasen, die als bestimmte erzeugende Systeme der gegebenen p-Gruppe definiert sind. Die Untersuchung wird insbesondere auf die nichtseparablen p-Gruppen und ihre induktiven Quasibasen bezogen. N2 - We describe (countable) p-groups by their relations relative to a quasibasis. In particular, non-separable p-groups will be examined. KW - Abelsche p-Gruppe KW - Quasibasis KW - Ulm-Kaplansky Invarianten KW - p-Gruppen KW - Quasibases KW - Ulm-Kaplansky invariants KW - p-groups Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-15359 ER - TY - THES A1 - Forster, Johannes T1 - Mathematical Modeling of Complex Fluids N2 - This thesis gives an overview over mathematical modeling of complex fluids with the discussion of underlying mechanical principles, the introduction of the energetic variational framework, and examples and applications. The purpose is to present a formal energetic variational treatment of energies corresponding to the models of physical phenomena and to derive PDEs for the complex fluid systems. The advantages of this approach over force-based modeling are, e.g., that for complex systems energy terms can be established in a relatively easy way, that force components within a system are not counted twice, and that this approach can naturally combine effects on different scales. We follow a lecture of Professor Dr. Chun Liu from Penn State University, USA, on complex fluids which he gave at the University of Wuerzburg during his Giovanni Prodi professorship in summer 2012. We elaborate on this lecture and consider also parts of his work and publications, and substantially extend the lecture by own calculations and arguments (for papers including an overview over the energetic variational treatment see [HKL10], [Liu11] and references therein). N2 - Die vorliegende Masterarbeit beschaeftigt sich mit der mathematischen Modellierung komplexer Fluessigkeiten. Nach einer Einfuehrung in das Thema der komplexen Fluessigkeiten werden grundlegende mechanische Prinzipien im zweiten Kapitel vorgestellt. Im Anschluss steht eine Einfuehrung in die Modellierung mit Hilfe von Energien und eines variationellen Ansatzes. Dieser wird im vierten Kapitel auf konkrete Beispiele komplexer Fluessigkeiten angewendet. Dabei werden zunaechst viskoelastische Materialien (z.B. Muskelmasse) angefuehrt und ein Modell fuer solche beschrieben, bei dem Eigenschaften von Festkoerpern und Fluessigkeiten miteinander kombiniert werden. Anschliessend untersuchen wir den Ursprung solcher Eigenschaften und die Auswirkungen von bestimmten Molekuelstrukturen auf das Verhalten der umgebenden Fluessigkeit. Dabei betrachten wir zunaechst ein Mehrskalen-Modell fuer Polymerfluessigkeiten und damit eine Kopplung mikroskopischer und makroskopischer Groessen. In einem dritten Beispiel beschaeftigen wir uns dann mit einem Model fuer nematische Fluessigkristalle, die in technischen Bereichen, wie beispielsweise der Displaytechnik, Anwendung finden. Geschlossen wird mit einem Ausblick auf weitere Anwendungsgebiete und mathematische Probleme. Wir folgen einer Vorlesung von Professor Dr. Chun Liu von der Penn State University, USA, die er im Sommer 2012 im Rahmen einer Giovanni-Prodi Gastprofessur an der Universitaet Wuerzburg ueber komplexe Fluessigkeiten gehalten hat. Bei der Ausarbeitung werden ebenfalls Teile seiner Veroeffentlichungen aufgegriffen und die Vorlesung durch eigene Rechnungen und Argumentationsschritte deutlich erweitert. KW - Variationsrechnung KW - Mathematische Modellierung KW - Kontinuumsmechanik KW - Inkompressibilität KW - Elastizität KW - Deformation KW - Festkörper KW - Flüssigkeit KW - Deformationsgradient KW - Newtonsches Kräftegleichgewicht KW - Komplexe Flüssigkeiten KW - Complex Fluids KW - Least Action Principle KW - Maximum Dissipation Principle KW - Modeling KW - Incompressibility Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-83533 ER - TY - THES A1 - Meister, Daniel T1 - The complexity of membership problems for finite recurrent systems and minimal triangulations T1 - Die Komplexität der Enthaltenseinprobleme für rekurrente Systeme und minimale Triangulationen N2 - The dissertation thesis studies the complexity of membership problems. Generally, membership problems consider the question whether a given object belongs to a set. Object and set are part of the input. The thesis studies the complexity of membership problems for two special kinds of sets. The first problem class asks whether a given natural number belongs to a set of natural numbers. The set of natural numbers is defined via finite recurrent systems: sets are built by iterative application of operations, like union, intersection, complementation and arithmetical operations, to already defined sets. This general problem implies further problems by restricting the set of used operations. The thesis contains completeness results for well-known complexity classes as well as undecidability results for these problems. The second problem class asks whether a given graph is a minimal triangulation of another graph. A graph is a triangulation of another graph, if it is a chordal spanning supergraph of the second graph. If no proper supergraph of the first graph is a triangulation of the second graph, the first graph is a minimal triangulation of the second graph. The complexity of the membership problem for minimal triangulations of several graph classes is investigated. Restricted variants are solved by linear-time algorithms. These algorithms rely on appropriate characterisations of minimal triangulations. N2 - Die Dissertation beschäftigt sich mit der Komplexität von Enthaltenseinproblemen. Allgemein gesprochen, interessieren sich Enthaltenseinprobleme für die Frage, ob ein gegebenes Objekt zu einer Menge gehört. Sowohl Objekt als auch Menge sind Teil der Eingabe. Die Arbeit untersucht die Komplexität dieser Fragestellung für zwei konkrete Mengenklassen. Zum ersten soll entschieden werden, ob eine natürliche Zahl zu einer Menge natürlicher Zahlen gehört. Entscheidend für die Komplexität dieses Problems ist die Darstellung der Menge natürlicher Zahlen. Es werden rekurrente Systeme verwendet, die Mengen natürlicher Zahlen durch iterierte Anwendung einfacher Operationen, wie die drei Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt, Komplementbildung und arithmetische Operationen, auf bereits konstruierte Mengen definieren. Beschränkt man die Menge verwendeter Operationen, ergibt sich eine Vielzahl von Problemen, deren Komplexitäten bestimmt werden. Es werden Vollständigkeitsresultate für bekannte Komplexitätsklassen wie auch Unentscheidbarkeit gezeigt. Zum zweiten soll entschieden werden, ob ein Graph eine minimale Triangulation eines anderen Graphen ist. Ein Graph ist Triangulation eines anderen Graphen, wenn er ein chordaler aufspannender Obergraph des zweiten Graphen ist. Ist kein echter Obergraph des ersten Graphen eine Triangulation des zweiten Graphen, so ist der erste Graph eine minimale Triangulation des zweiten Graphen. Ein Graph kann mehrere minimale Triangulationen besitzen. Untersucht wird die Komplexität des Enthaltenseinproblems für minimale Triangulationen für verschiedene Graphenklassen, und es werden Linearzeitalgorithmen zur Lösung einer eingeschränkten Variante des jeweiligen Problems angegeben. Die Algorithmen basieren alle auf geeigneten Charakterisierungen minimaler Triangulationen. KW - Komplexität KW - Triangulation KW - Komplexität KW - Enthaltenseinproblem KW - rekurrente Systeme KW - minimale Triangulationen KW - complexity KW - membership problem KW - finite recurrent systems KW - minimal triangulations Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18837 ER - TY - THES A1 - Klug, Andreas T1 - Affine-Scaling Methods for Nonlinear Minimization Problems and Nonlinear Systems of Equations with Bound Constraints T1 - Affine Skalierungsverfahren für nichtlineare Optimierungsaufgaben und nichtlineare Gleichungssyteme mit Box-Restriktionen N2 - In this thesis affine-scaling-methods for two different types of mathematical problems are considered. The first type of problems are nonlinear optimization problems subject to bound constraints. A class of new affine-scaling Newton-type methods is introduced. The methods are shown to be locally quadratically convergent without assuming strict complementarity of the solution. The new methods differ from previous ones mainly in the choice of the scaling matrix. The second type of problems are semismooth system of equations with bound constraints. A new affine-scaling trust-region method for these problems is developed. The method is shown to have strong global and local convergence properties under suitable assumptions. Numerical results are presented for a number of problems arising from different areas. N2 - In dieser Arbeit werden affine Skalierungsverfahren fuer zwei verschiedene mathematische Problemstellungen untersucht. Der erste Problemtyp sind nichtlineare Optimierungsaufgaben mit Box-Restriktionen. Hierfuer wird eine neue Klasse von affinen Skalierungsverfahren eingefuehrt. Fuer diese Verfahren kann lokale quadratische Konvergenz ohne eine strikte Komplementaritaetsannahme bewiesen werde. Die neuen Methoden unterscheiden sich von den bisherigen durch die Wahl der Skalierungsmatrix. Probleme vom zweiten Typ sind semismoothe nichtlineare Gleichungssysteme mit Box-Restriktionen. Ein neues affine Skalierungs Trust-Region-Verfahren fuer diese Probleme wird vorgestellt. Das Verfahren besitzt starke globale und lokale Konvergenzeigenschaften unter ueblichen Voraussetzungen. Fuer eine Vielzahl von Problemstellungen werden numerische Ergebnisse beschrieben. KW - Skalierungsfunktion KW - Optimierung KW - Optimierung KW - Gleichungssysteme KW - Box-Restriktionen KW - Affine Skalierungsverfahren KW - optimization KW - nonlinear systems KW - bound constraints KW - affine scaling methods Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18851 ER - TY - THES A1 - Michel, René T1 - Simulation and Estimation in Multivariate Generalized Pareto Models T1 - Simulationen und Schätzverfahren in multivariaten verallgemeinerten Pareto-Modellen N2 - The investigation of multivariate generalized Pareto distributions (GPDs) in the framework of extreme value theory has begun only lately. Recent results show that they can, as in the univariate case, be used in Peaks over Threshold approaches. In this manuscript we investigate the definition of GPDs from Section 5.1 of Falk et al. (2004), which does not differ in the area of interest from those of other authors. We first show some theoretical properties and introduce important examples of GPDs. For the further investigation of these distributions simulation methods are an important part. We describe several methods of simulating GPDs, beginning with an efficient method for the logistic GPD. This algorithm is based on the Shi transformation, which was introduced by Shi (1995) and was used in Stephenson (2003) for the simulation of multivariate extreme value distributions of logistic type. We also present nonparametric and parametric estimation methods in GPD models. We estimate the angular density nonparametrically in arbitrary dimension, where the bivariate case turns out to be a special case. The asymptotic normality of the corresponding estimators is shown. Also in the parametric estimations, which are mainly based on maximum likelihood methods, the asymptotic normality of the estimators is shown under certain regularity conditions. Finally the methods are applied to a real hydrological data set containing water discharges of the rivers Altmühl and Danube in southern Bavaria. N2 - Die Untersuchung der multivariaten verallgemeinerten Pareto-Verteilungen (GPDs) im Rahmen der Extremwerttheorie hat erst kürzlich begonnen. Neueste Ergebnisse zeigen, dass diese wie im univariaten Fall bei Peaks over Threshold-Ansätzen angewendet werden können. In dieser Arbeit verwenden wir die Definition einer GPD aus Abschnitt 5.1 von Falk et al. (2004), die sich im interessierenden Bereich nicht von der anderer Autoren unterscheidet. Wir zeigen zuerst einige theoretische Eigenschaften und stellen wichtige Beispiele von GPDs vor. Zur weiteren Untersuchung dieser Verteilungen sind Simulationen unerläßlich. Wir stellen mehrere Methoden zur Simulation von GPDs vor, beginnend mit einer effizienten Methode für die logistische GPD. Der entsprechende Algorithmus basiert auf der Shi-Transformation, die von Shi (1995) eingeführt und von Stephenson (2003) verwendet wurde, um logistische multivariate Extremwertverteilungen zu simulieren. Wir führen auch nicht-parametrische und parametrische Schätzverfahren in GPD-Modellen ein. Wir schätzen die Angular Density in beliebiger Dimension, wobei sich der bivariate Fall als ein besonderer herausstellt. Die asymptotische Normalität der entsprechenden Schätzer wird gezeigt. Ebenso zeigen wir für die parametrischen Schätzungen, die hauptsächlich Maximum-Likelihood-Methoden verwenden, die asymptotische Normalität unter geeigneten Regularitätsbedingungen Zum Schluß werden die Methoden auf einen realen hydrologischen Datensatz, bestehend aus Abflussraten der Flüsse Altmühl und Donau in Südbayern, angewendet. KW - Pareto-Verteilung KW - Multivariate verallgemeine Pareto-Verteilungen KW - Extremwerttheorie KW - Überschreitungen KW - Simulation KW - Angular Density KW - Multivariate Generalized Pareto Distributions KW - Peaks over Threshold KW - Extreme Value Theory KW - Simulation KW - Angular Density Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18489 ER - TY - THES A1 - Petra, Stefania T1 - Semismooth least squares methods for complementarity problems T1 - Semismoothe Least Squares Methoden für Komplementaritätsprobleme N2 - This thesis is concerned with numerical methods for solving nonlinear and mixed complementarity problems. Such problems arise from a variety of applications such as equilibria models of economics, contact and structural mechanics problems, obstacle problems, discrete-time optimal control problems etc. In this thesis we present a new formulation of nonlinear and mixed complementarity problems based on the Fischer-Burmeister function approach. Unlike traditional reformulations, our approach leads to an over-determined system of nonlinear equations. This has the advantage that certain drawbacks of the Fischer-Burmeister approach are avoided. Among other favorable properties of the new formulation, the natural merit function turns out to be differentiable. To solve the arising over-determined system we use a nonsmooth damped Levenberg-Marquardt-type method and investigate its convergence properties. Under mild assumptions, it can be shown that the global and local fast convergence results are similar to some of the better equation-based method. Moreover, the new method turns out to be significantly more robust than the corresponding equation-based method. For the case of large complementarity problems, however, the performance of this method suffers from the need for solving the arising linear least squares problem exactly at each iteration. Therefore, we suggest a modified version which allows inexact solutions of the least squares problems by using an appropriate iterative solver. Under certain assumptions, the favorable convergence properties of the original method are preserved. As an alternative method for mixed complementarity problems, we consider a box constrained least squares formulation along with a projected Levenberg-Marquardt-type method. To globalize this method, trust region strategies are proposed. Several ingredients are used to improve this approach: affine scaling matrices and multi-dimensional filter techniques. Global convergence results as well as local superlinear/quadratic convergence are shown under appropriate assumptions. Combining the advantages of the new methods, a new software for solving mixed complementarity problems is presented. N2 - Diese Dissertation behandelt numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer und gemischer Komplementaritätsprobleme. Solche Probleme ergeben sich aus einer Vielzahl von Anwendungen wie z.B. ökonomische Gleichgewichtmodelle, Kontakt- und Strukturprobleme der Mechanik, Hindernisprobleme, Probleme der optimalen Steuerung usw.. Als erstes wird eine neue Umformulierung der nichtlinearen und gemischen Komplementaritätsproblemen vorgestellt, die auf der Fischer-Burmeister Funktion basiert. Im Gegensatz zu bekannten Umformulierungen führt unsere zu einem überbestimmten nichtlinearen Gleichungssystem. Dadurch werden bestimmte Nachteile der Fischer-Burmeister Umformulierung vermieden. Eine vorteilhafte Eigenschaft der neuen Formulierung ist die Differenzierbarkeit der Straffunktion. Um das resultierende überbestimmte Gleichungsystem zu lösen benutzen wir eine nichtglattes gedämpftes Levenberg-Marquardt Verfahren und untersuchen dessen Konvergenzeigenschaften. Unter milden Annahmen kann gezeigt werden, dass die globalen und lokalen schnellen Konvergenzresultate der etwas besseren Methoden erhalten bleiben. Außerdem scheint die neue Methode deutlich robuster zu sein als andere Methoden die ebenfalls auf einer Umformulierung der Komplementaritätsprobleme als Gleichungsystem beruhen. Im Falle grosser Komplementaritätsprobleme leidet die Leistung dieser Methode jedoch, da in jedem Iterationsschritt die exakte Lösung eines grossdimensionalem linearem Ausgleichsproblem anfällt. Folglich schlagen wir eine geänderte Version vor, die inexakte Lösungen dieser Ausgleichsprobleme zulässt, durch Verwendung eines iterativen Lösers. Unter bestimmten Annahmen bleiben die vorteilhaften Konvergenzeigenschaften der ursprünglichen Methode erhalten. Als alternative Methode für gemischte Komplementaritätprobleme betrachten wir eine Box-restringierte Umformulierung zusammen mit einem projizierten Levenberg-Marquardt Verfahren. Zu Globalisierungszwecken wird eine Trust-Region Strategie vorgeschlagen. Skalierungmatrizen und mehrdimensionale Filtertechniken werden benutzt, um das Verfahren zu verbessern. Globale Konvergenz, sowie lokal superlineare/quadratische Konvergenz kann unter adäquaten Voraussetzungen gezeigt werden. Schließlich wird eine Software zur Lösung der gemischten Komplementaritätsprobleme, welche die Vorteile der neuen Methoden kombiniert. KW - Komplementaritätsproblem KW - nichtlineare & gemischte Komplementaritätsprobleme KW - nichtglatte Newton-artige Verfahren KW - globale Konvergenz KW - nonlinear and mixed complementarity problems KW - semismooth Newton-type methods KW - nonlinear least squares reformulation KW - global convergence Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-18660 ER - TY - THES A1 - Eßer, Wolfram T1 - Fehlertolerante Volltextsuche in elektronischen Enzyklopädien und Heuristiken zur Fehlerratenverbesserung T1 - Fault-tolerant Fulltext-Search in Electronic Encylopedias and Heuristics for Error Rate Improvement N2 - In der vorliegenden Arbeit wird das Konzept und die praktische Umsetzung einer fehlertoleranten Volltextsuche vorgestellt, welche die unscharfe Recherche nach Suchmustern in umfangreichen, digitalen, enzyklopädischen Werken ermöglichen. Das dabei zur Anwendung kommende neue Verfahren, welches durch Gewichte gesteuert das ursprüngliche Benutzer-Suchmuster in seiner Gestalt verändert (Weighted Pattern Morphing, WPM) und anschließend mit einer nachgeschalteten exakten Volltextsuche sucht, konnte in zahlreichen kommerziellen Anwendungsfällen seine Praxistauglichkeit beweisen. Darunter ist die Anwendung zur unscharfen Suche in einer mittelalterlichen, handschriftlichen Chronik besonders interessant, da diese die frühneuhochdeutsche Sprache verwendet und es zur damaligen Zeit noch keine vereinheitlichte Rechtschreibung gab. Aber nicht nur bei der Endbenutzer-Suche kann WPM eingesetzt werden - auch im redaktionellen Umfeld konnten mit dem Verfahren noch mehrere hundert Tippfehler in einem bereits mehrfach lektorierten digitalen Lexikon gefunden werden. Dabei arbeitet das Verfahren deutlich schärfer, als die sonst zur unscharfen Suche (und damit zur Fehler-Suche) verwendete Edit-Distanz. Abschließend wird in der Arbeit noch ein Verfahren vorgestellt, mit dem aus einem 3D-Drahtgitter-Modell und den Faksimile-Scans einer mittelalterlichen Handschrift automatisch ein virtuelles Buch zum Durchblättern am PC erstellt wurde. N2 - In the work reported here, we present a new way of performing fault-tolerant fulltext retrieval on large text corpora, such as scientific encyclopedias. The weighted pattern morphing (WPM) technique introduced in this paper overcomes disadvantages of both the popular edit distance measure and the Soundex code approaches, yet keeping their flexibility. This algorithm handles phonetic similarities; common typing errors such as omission or transposition of letters, and inconsistent usage of abbreviations and hyphenation. After showing how WPM can be implemented efficiently, we present a novel method of how the weights of the internal penalty matrix can be automatically adjusted for even better results. Though the described technique can be applied without prior knowledge of actual user patterns, re-examination with a large number of online-user's patterns proves the portability of this fine-tuning approach. We further show how shifting the penalty matrix from one language to another can be accomplished. The described WPM technique is integrated into a large commercial pharmaceutic ency­clopedia CDROM, an online dermatological encyclopedia, and an online-reference encyclopedia of parasitology research, thus also proving its “road capability”. The thesis shows further the possibility to use WPM in the development phase of a digital encyclopedia to spot and correct typos and errors. A few hundred errors could be corrected in a text corpus that was reviewed several times before. Finally, the work presents an automatic approach in building a virtual book from a 3D-wireframe model and facsimile scans of a medieval handwriting. The user can flip pages back and forth in this virtual book, where the original version of the book is not accessible to the masses. KW - Volltextdatenbank KW - Fehlertoleranz KW - Fries KW - Lorenz KW - Würzburger Bischofschronik KW - Handschrift KW - Würzburg KW - Universitätsbibliothek KW - M.ch.f. 760 KW - Volltext KW - Fehlertoleranz KW - Volltextsuche KW - elektronische Enzyklopädien KW - Weighted Pattern Morphing KW - Fehlerratenverbesserung KW - Fault-Tolerance KW - Fulltext-Search KW - Electronic Encyclopedia KW - Weighted Pattern Morphing KW - Error-Rate-Improvement Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-14760 ER - TY - THES A1 - Kraus, Christiane T1 - On some maximal convergence theorems for real analytic functions in R^N T1 - On some Maximal Convergence Theorems for Real Analytic Functions in R^N N2 - Ausgangspunkt dieser Arbeit war eine Publikation von D. Braess [Bra01], in der die Approximationsgüte der Funktionen $$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),$$ auf der Einheitskreisscheibe $x^2+y^2 \le 1$ durch reelle Polynome untersucht wurde. Braess's Ergebnisse und insbesondere die von ihm angesprochenen offenen Probleme waren von besonderem Interesse, da sie Anlaß zu der Vermutung gaben, dass die klassische Theorie der ``Maximalen Konvergenz'' in Sinne von Walsh auf (zunächst) die oben erwähnten reell analytischen Funktionen erweitert werden kann. (Die Theorie der Maximalen Konvergenz bringt die Approximationsgüte einer Funktion auf einer kompakten Menge durch Polynome mit der Analyzität dieser Funktion in Verbindung.) \\ Hauptgegenstand der Arbeit ist die Erweiterung des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes auf reell analytische Funktionen in höheren Dimensionen. Es werden verschiedene maximale Konvergenzsätze sowohl in einer als auch in mehreren Veränderlichen bewiesen. \\ Die Arbeit gliedert sich in drei Hauptteile. \\[2mm] Im ersten Teil wird der theoretische Hintergrund der ``Maximalen Konvergenz'' mit dem Problemkreis von Braess in Zusammenhang gebracht. Es wird gezeigt, dass für betrags-quadratisch holomorphe Funktionen folgender Satz gilt: \\ { \bf {Satz 1}}: Es sei $g$ eine holomorphe Funktion auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe $\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ und $F(x,y):= |g(x+iy)|^2$, $x,y \in \mathbb{R}$. Dann gilt: $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}$$ genau dann, wenn $g$ auf $ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}$ holomorph ist, aber auf keiner echt gr\"o\3eren Kreisscheibe, wobei $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.$$ Dieser Satz beinhaltet nicht nur die Ergebnisse von Braess [Bra01], sondern erweitert ihn, und beantwortet die von Braess aufgeworfenen Fragen vollständig. Zudem zeigt der Satz die genaue Analogie des klassischen ``Maximalen Konvergenz''--Konzeptes für die Funktionenklasse der betrag--quadratisch holomorphen Funktionen im $\mathbb{R}^2$. \\[2mm] In der Literatur gibt es viele Verallgemeinerungen des ``Maximalen Konvergenz''--Begriffes für mehrere komplexe Veränderlichen. Im Hinblick auf die vorliegende Arbeit sind besonders die Artikel [Sic62] und [Sic81] zu erwähnen. Diese bereits bekannten Ergebnisse werden im zweiten Teil der Arbeit herangezogen, um den ``Maximalen Konvergenz''--Begriff auf mehrere reelle Veränderlichen zu erweitern. Man beachte, dass der entscheidende Unterschied hier in der polynomialen Approximationsklasse liegt. \\[2mm] Der dritte Teil befaßt sich mit der Verallgemeinerung des Satzes 1 in mehreren Veränderlichen. Eng verbunden mit diesem Problemkreis ist die Charakterisierung einer gewissen Extremalfunktion. Diese Funktion wird zur Bestimmung des Analyzitätsbereichs der zu approximierenden Funktion benötigt. Mittels geeigneter Darstellung der Extremalfunktion und Charakterisierung des Analyzitätsbereichs gelingt es schließlich, den folgenden Hauptsatz der vorliegenden Arbeit zu beweisen:\\ { \bf { Satz 2}}: Es seien $g,h$ holomorphe Funktionen auf der abgeschlossenen Einheitskugel $\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}$ und $F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}$, $x,y \in \mathbb{R}^N$. Dann gilt: $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}$$ genau dann, wenn $g,h$ auf ${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}$ holomorph sind, und mindestens eine der zwei Funktionen $g,h$ auf keinem echt gr\"o\3eren Ball als $\mathbb{D}_{N,\rho}$ holomorph fortsetzbar ist. Hierbei bezeichnet $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N}, \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ Polynom vom Grad } \le n \}.$$ $[$Bra01$]$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ $[$Sic62$]$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ $[$Sic81$]$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in $\mathbb{C}^N$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211. N2 - The starting point for this work was a paper published by D. Braess [Bra01] in the year 2001. There the author studied the approximation behaviour of the functions $$ \frac{1}{((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)^s}, \qquad x_0^2 + y_0^2 \ge 1, \quad s \in (0,\infty),$$ by real valued polynomials on the closed unit disk $x^2+y^2 \le 1$. Braess's results and in particular his questions posed in [Bra01] were of interest as they give rise to ask if the classical theory of ``Maximal Convergence'' introduced by Walsh may be extended to a certain class of real analytic functions, which includes the functions mentioned above. ( The theory of maximal convergence connects the approximation behaviour of a function by polynomials on a compact set with the analyticty of this function.)\\ The main subject of this paper is the extension of the classical ``Maximal Conver\-gence''--concept to real analytic functions in higher dimensions. Several maximal convergence theorems in one as well as in higher dimensions will be proved. The work is divded into three main parts. \\[2mm] The first part links the theoretical background of the ``Maximal Convergence''--concept to Braess's approximation topic. The following theorem will be proved for holomorphic functions of squared modulus type:\\ { \bf {Theorem 1}}: Let $g$ be a holomorphic function on the closed unit disk $\overline{\mathbb{D}}:=\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ and let $F(x,y):= |g(x+iy)|^2$, $x,y \in \mathbb{R}$. Then $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)} = \frac{1}{\rho}$$ if and only if $g$ is holomorphic on $ \{ z \in \mathbb{C} : |z| < \rho \}$, but on no larger disk containing $\overline{\mathbb{D}} $, where $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}},F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}}, \, P_n: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \mbox{ polynomial of degree } \le n \}.$$ This theorem doesn't only generalize Braess's results [Bra01], but also solves Braess's open problems. Furthermore, it shows the extension of the classical ``Maximal convergence''--concept to the class of functions of squared modulus type in $\mathbb{R}^2$ . \\[2mm] In the literature there are several generalizations of the ``Maximal Convergence''--term to several complex variables. In view of this work we like to point out the articles [Sic62], [Sic81] and [SZ01]. These known results are used to extend the ``Maximal Convergence''--concept to several real variables. Notice, the decisive difference is the approximation class.\\[2mm] The third part handles the generalization of Theorem 1 to higher dimensions. In this context the characterization of a certain extremal function plays an important rule. This function is used to determine the domain $G$ on which the approximating function can be continued analytically. A special description of $G$ and an explicit representation of the extremal function are the nub to prove the main theorem of this thesis:\\ { \bf { Theorem 2}}: Let $g,h$ be holomorphic functions on the closed unit ball $\overline{\mathbb{D}}_N:=\{ z \in \mathbb{C}^N : |z| \le 1\}$ and let $F(x,y):= g(x+iy) \overline{h(x+iy)}$, $x,y \in \mathbb{R}^N$. Then $$ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)} = \frac{1}{\rho}$$ if and only if $g,h$ are holomorphic on ${\mathbb{D}}_{N,\rho}:= \{ z \in \mathbb{C}^N : |z| < \rho \}$ and at least one of them has no holomorphic extension to any larger domain containing $\overline{\mathbb{D}}_N$, where $$ E_n ( \overline{\mathbb{D}}_N,F)= \inf \{ ||F -P_n||_{\overline{\mathbb{D}}_N} , \, P_n: \mathbb{R}^{2N} \to \mathbb{C} \mbox{ polynomial of degree } \le n \}.$$ $[$Bra01$]$ Braess, D., {\it Note on the Approximation of Powers of the Distance in Two-Dimensional Domains}, Constructive Approximation (2001), {\bf 17} No. 1, 147-151. \\ $[$Sic62$]$ Siciak, J., {\it On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables}, Trans. Amer. Math. Soc. (1962), {\bf 105}, 322--357. \\ $[$Sic81$]$ Siciak, J., {\it Extremal plurisubharmonic functions in $\mathbb{C}^N$}, Ann. Pol. Math. (1981), {\bf 39}, 175--211.\\ $[$SZ01$]$ Skiba, N., Zaharjuta, V. P., {\it Bernstein-Walsh theorems for harmonic functions in $\mathbb{R}^n$}, Isr. Math. Conf. Proc. (2001), {\bf 15}, 357-382. KW - Reelle Funktion KW - Analytische Funktion KW - Konvergenz KW - Maximale KW - Konvergenz KW - Berstein KW - Walsh KW - Sätze KW - Maximal KW - Convergence KW - Bernstein KW - Walsh KW - Theorems Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-9795 ER - TY - THES A1 - Seider, David T1 - Solving an eigenvalue problem in laser simulation T1 - Lösen eines Eigenwertproblems bei der Simulation von Lasern N2 - In this thesis a new and powerful approach for modeling laser cavity eigenmodes is presented. This approach is based on an eigenvalue problem for singularly perturbed partial differential operators with complex coefficients; such operators have not been investigated in detail until now. The eigenvalue problem is discretized by finite elements, and convergence of the approximate solution is proved by using an abstract convergence theory also developed in this dissertation. This theory for the convergence of an approximate solution of a (quadratic) eigenvalue problem, which particularly can be applied to a finite element discretization, is interesting on its own, since the ideas can conceivably be used to handle equations with a more complex nonlinearity. The discretized eigenvalue problem essentially is solved by preconditioned GMRES, where the preconditioner is constructed according to the underlying physics of the problem. The power and correctness of the new approach for computing laser cavity eigenmodes is clearly demonstrated by successfully simulating a variety of different cavity configurations. The thesis is organized as follows: Chapter 1 contains a short overview on solving the so-called Helmholtz equation with the help of finite elements. The main part of Chapter 2 is dedicated to the analysis of a one-dimensional model problem containing the main idea of a new model for laser cavity eigenmodes which is derived in detail in Chapter 3. Chapter 4 comprises a convergence theory for the approximate solution of quadratic eigenvalue problems. In Chapter 5, a stabilized finite element discretization of the new model is described and its convergence is proved by applying the theory of Chapter 4. Chapter 6 contains computational aspects of solving the resulting system of equations and, finally, Chapter 7 presents numerical results for various configurations, demonstrating the practical relevance of our new approach. N2 - In dieser Arbeit wird ein neues und mächtiges Verfahren für die Modellierung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren vorgestellt. Dieses Verfahren basiert auf einem Eigenwertproblem für singulär gestörte Differentialoperatoren mit komplexen Koeffizienten; solche Operatoren sind bisher noch nicht detailliert untersucht worden. Das Eigenwertproblem wird mit Finiten Elementen diskretisiert, und die Konvergenz der Finite-Elemente-Lösung wird bewiesen durch Anwendung einer abstrakten Konvergenztheorie, die ebenfalls in dieser Dissertation entwickelt wird. Diese Theorie für die Konvergenz einer Näherungslösung eines (quadratischen) Eigenwertproblems ist für sich allein interessant, da die Beweisideen auch auf Fälle mit einer komplizierteren Nichtlinerität angewendet werden können. Das diskretisierte Eigenwertproblem wird im Wesentlichen mit einem vorkonditionierten GMRES-Verfahren gelöst, wobei der Vorkonditionierer unter Beachtung der dem Problem zugrunde liegenden Physik konstruiert wurde. Die Mächtigkeit und Korrektheit unseres neuen Verfahrens zur Bestimmung von Eigenmoden in Laser-Resonatoren wird klar gezeigt dadurch, dass eine Vielzahl verschiedener Konfigurationen damit erfolgreich gerechnet werden können. Die Dissertation ist wie folgt aufgebaut: Kapitel 1 enthält eine kurzen Überblick über das Lösen der sogenannten Helmholtz-Gleichung mit Hilfe von Finiten Elementen. Der Großteil des Kapitels 2 beschäftigt sich mit der Analyse eines eindimensionalen Modellproblems. Dieses Modellproblem enthält die Hauptidee des neuen Modells für Eigenmoden eines Laser-Resonators, welches in Kapitel 3 entwickelt wird. Kapitel 4 beinhaltet eine Konvergenztheorie für Näherungslösungen von quadratischen Eigenwertproblemen. In Kapitel 5 wird eine stabilisierte Finite-Elemente-Diskretisierung des neuen Modells beschrieben, und dessen Konvergenz mit Hilfe der Theorie aus Kapitel 4 bewiesen. Kapitel 6 beschäftigt sich damit, welche Verfahren aus der numerischen linearen Algebra verwendet werden, um das diskrete Problem zu lösen. Schließlich finden sich zum Nachweis der praktischen Relavanz des Verfahrens in Kapitel 7 numerische Ergebnisse für eine Vielzahl von Konfigurationen. KW - Laser KW - Simulation KW - Eigenwert KW - Lasersimulation KW - Eigenmode KW - singulär gestörtes Problem KW - Finite Elemente KW - Konvergenz bei quadratischem Eigenwertproblem KW - laser simulation KW - eigenmode KW - singularly perturbed problem KW - finite elements KW - convergence for quadratic eigenvalue problems Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-10057 ER - TY - THES A1 - Kleinsteuber, Martin T1 - Jacobi-type methods on semisimple Lie algebras : a Lie algebraic approach to numerical linear algebra T1 - Jacobi-Verfahren auf halbeinfachen Lie-Algebren N2 - Es wird eine Lie-algebraische Verallgemeinerung sowohl des klassischen als auch des Sortier-Jacobi-Verfahrens für das symmetrische Eigenwertproblem behandelt. Der koordinatenfreie Zugang ermöglicht durch eine neue Betrachtungsweise die Vereinheitlichung strukturierter Eigen- und Singulärwertprobleme, darunter bis dato noch nicht betrachtete Fälle. Für beide Verfahren wird lokal quadratische Konvergenz, sowohl für den regulären als auch für den irregulären Fall, gezeigt. Die Analyse und Verallgemeinerung der sog. speziellen Sweeps für das symmetrische Eigenwertproblem führt zu neuen Sweep-Methoden für strukturierte Eigen- und Singulärwertprobleme, die ein besseres Konvergenzverhalten als die bisher bekannten aufweisen. N2 - A Lie algebraic generalization of the classical and the Sort-Jacobi algorithm for diagonalizing a symmetric matrix has been proposed. The coordinate free setting provides new insights in the nature of Jacobi-type methods and allows a unified treatment of several structured eigenvalue and singular value problems, including so far unstudied normal form problems. Local quadratic convergence has been shown for both types of Jacobi methods with a fully comprehension of the regular and irregular case. New sweep methods have been introduced that generalize the special cyclic sweep for symmetric matrices and ensure local quadratic convergence also for irregular elements. The new sweep methods yield faster convergence behavior than the previously known cyclic schemes. KW - Eigenwert KW - Jacobi-ähnliches Verfahren KW - Jacobi-Eigenwert-Verfahren KW - halbeinfache Lie Algebren KW - strukturierte Normalformprobleme KW - quadratische Konvergenz KW - spezielle Sweep-Methoden KW - Jacobi-type eigenvalue methods KW - semisimple Lie algebras KW - structured normal form problem KW - quadratic convergence KW - special sweeps Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-16454 ER - TY - BOOK A1 - Falk, Michael A1 - Marohn, Frank A1 - Michel, René A1 - Hofmann, Daniel A1 - Macke, Maria A1 - Tewes, Bernward A1 - Dinges, Peter T1 - A First Course on Time Series Analysis : Examples with SAS N2 - The analysis of real data by means of statistical methods with the aid of a software package common in industry and administration usually is not an integral part of mathematics studies, but it will certainly be part of a future professional work. The present book links up elements from time series analysis with a selection of statistical procedures used in general practice including the statistical software package SAS Statistical Analysis System). Consequently this book addresses students of statistics as well as students of other branches such as economics, demography and engineering, where lectures on statistics belong to their academic training. But it is also intended for the practician who, beyond the use of statistical tools, is interested in their mathematical background. Numerous problems illustrate the applicability of the presented statistical procedures, where SAS gives the solutions. The programs used are explicitly listed and explained. No previous experience is expected neither in SAS nor in a special computer system so that a short training period is guaranteed. This book is meant for a two semester course (lecture, seminar or practical training) where the first two chapters can be dealt with in the first semester. They provide the principal components of the analysis of a time series in the time domain. Chapters 3, 4 and 5 deal with its analysis in the frequency domain and can be worked through in the second term. In order to understand the mathematical background some terms are useful such as convergence in distribution, stochastic convergence, maximum likelihood estimator as well as a basic knowledge of the test theory, so that work on the book can start after an introductory lecture on stochastics. Each chapter includes exercises. An exhaustive treatment is recommended. This book is consecutively subdivided in a statistical part and an SAS-specific part. For better clearness the SAS-specific part, including the diagrams generated with SAS, always starts with a computer symbol, representing the beginning of a session at the computer, and ends with a printer symbol for the end of this session. This book is an open source project under the GNU Free Documentation License. KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Zeitreihenanalyse KW - SAS KW - Time series analyses KW - SAS Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-16919 ER - TY - THES A1 - Lageman, Christian T1 - Convergence of gradient-like dynamical systems and optimization algorithms T1 - Konvergenz gradientenähnlicher dynamischer Systeme und Optimierungsalgorithmen N2 - This work studies the convergence of trajectories of gradient-like systems. In the first part of this work continuous-time gradient-like systems are examined. Results on the convergence of integral curves of gradient systems to single points of Lojasiewicz and Kurdyka are extended to a class of gradient-like vector fields and gradient-like differential inclusions. In the second part of this work discrete-time gradient-like optimization methods on manifolds are studied. Methods for smooth and for nonsmooth optimization problems are considered. For these methods some convergence results are proven. Additionally the optimization methods for nonsmooth cost functions are applied to sphere packing problems on adjoint orbits. N2 - Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konvergenz von Trajektorien gradientenähnlicher Systeme. Im ersten Teil der Arbeit werden zeit-kontinuierliche, gradientenähnliche Systeme betrachtet. Resultate zur Konvergenz der Trajektorien gegen einen Punkt von Lojasiewicz und Kurdyka für Gradientensysteme werden auf eine Klasse gradientenähnlicher Vektorfelder und gradientenähnliche Differentialinklusionen verallgemeinert. Im zweiten Teil der Arbeit werden zeit-diskrete, gradientenähnliche Optimierungsverfahren auf Mannigfaltigkeiten untersucht. Es werden Algorithmen sowohl für glatte als auch nicht-glatte Optimierungsprobleme betrachtet. Für diese Verfahren werden einige Konvergenzresultate bewiesen. Zusätzlich werden die Optimierungsverfahren für nichtglatte Kostenfunktionen auf Kugelpackungsprobleme in adjungierten Bahnen angewendet. KW - Dynamisches System KW - Konvergenz KW - Nichtlineare Optimierung KW - gradientenähnliche Systeme KW - Konvergenz KW - Optimierung auf Mannigfaltigkeiten KW - nichtlineare Optimierung KW - gradient-like systems KW - convergence KW - optimization on manifolds KW - nonlinear optimization Y1 - 2007 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-23948 ER - TY - THES A1 - Möller, Florian T1 - Exceptional polynomials and monodromy groups in positive characteristic T1 - Exzeptionelle Polynome und Monodromiegruppen in positiver Charakteristik N2 - We discuss exceptional polynomials, i.e. polynomials over a finite field $k$ that induce bijections over infinitely many finite extensions of $k$. In the first chapters we give the theoretical background to characterize this class of polynomials with Galois theoretic means. This leads to the notion of arithmetic resp. geometric monodromy groups. In the remaining chapters we restrict our attention to polynomials with primitive affine arithmetic monodromy group. We first classify all exceptional polynomials with the fixed field of the affine kernel of the arithmetic monodromy group being of genus less or equal to 2. Next we show that every full affine group can be realized as the monodromy group of a polynomial. In the remaining chapters we classify affine polynomials of a given degree. N2 - In dieser Arbeit werden exzeptionelle Polynome untersucht. Ein über einem endlichen Körper $k$ definiertes Polynom heißt exzeptionell, falls durch dieses auf unendlich vielen endlichen Erweiterungen von $k$ Bijektionen induziert werden. In den ersten Kapiteln legen wir die theoretischen Grundlagen, die uns eine Charakterisierung exzeptioneller Polynome mittels Galoistheorie erlauben. Wir benötigen hierzu insbesondere den Begriff der arithmetischen bzw. geometrischen Monodromiegruppe. In den folgenden Kapiteln behandeln wir schwerpunktmäßig Polynome mit primitiver affiner arithmetischer Monodromiegruppe. Zunächst klassifizieren wir alle exzeptionellen Polynome, die der Bedingung genügen, daß der Fixkörper des affinen Kerns ein Geschlecht kleiner oder gleich 2 besitzt. Danach zeigen wir, daß jede volle affine Gruppe als geometrische Monodromiegruppe eines Polynoms auftritt. In den restlichen Kapiteln klassifizieren wir affine Polynome von vorgegebenem Grad. KW - Algebraischer Funktionenkörper KW - Galois-Feld KW - Galois-Erweiterung KW - Monodromie KW - algebraic function field KW - finite fields KW - galois extensions KW - monodromy groups Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-34871 ER - TY - THES A1 - Winkler, Ralf T1 - Schwache Randwertprobleme von Systemen elliptischen Charakters auf konischen Gebieten T1 - Weak boundary value problems of linear elliptic systems on conical domains N2 - In der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme elliptischer partieller Differentialgleichungen in schwacher Formulierung auf konischen Gebieten untersucht. Auf einem zunächst unbeschränkten Kegelgebiet betrachten wir den Fall beschränkter und nur von den Winkelvariablen abhängiger Koeffizientenfunktionen. Die durch selbige definierte Bilinearform genüge einer Gårdingschen Ungleichung. In gewichteten Sobolevräumen werden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen geklärt, wobei das Problem mittels Fouriertransformation auf eine von einem komplexen Parameter abhängige Familie T(·) von Fredholmoperatoren zurückgeführt wird. Unter Anwendung des Residuenkalküls gewinnen wir eine Darstellung der Lösung in Form einer Zerlegung in einen glatten Anteil einerseits sowie eine endliche Summe von Singulärfunktionen andererseits. Durch Abschneidetechniken werden die gewonnenen Erkenntnisse auf den Fall schwach formulierter elliptischer Systeme auf beschränkten Kegelgebieten unter Formulierung in gewöhnlichen, nicht-gewichteten Sobolevräumen angewendet. Die für Regularitätsfragen maßgeblichen Eigenwerte der Operatorfunktion T mit minimalem positiven Imaginärteil werden im letzten Kapitel der Arbeit am Beispiel der ebenen elastischen Gleichungen numerisch bestimmt. N2 - In the present PhD thesis we investigate systems of linear partial elliptic equations in weak formulation on conical domains. For an unbounded cone, first, we study the case of bounded and radially constant coefficient functions. The so defined bilinear form is supposed to satisfy a (local) Gårding inequality. In weighted Sobolev spaces we study questions of existence and uniqueness of solutions. In this context the problem is Fourier-transformed onto a set of smaller problems, represented by Fredholm operators T(·) that holomorphically depend on a complex parameter. Via the residual theorem we yield a decomposition of the solution into a regular part and a finite sum of singular functions. Using cut-off techniques we are able to transfer the preceeding results onto the case of weak formulated linear elliptic systems on bounded cones under restriction to usual, non weighted Sobolev spaces. In the last chapter, the eigenvalues of T with minimal positive imaginary part, which are responsible for regularity properties, are numeriaclly determined for the example of the plane Elastic Equations. KW - Elliptische Differentialgleichung KW - Lineare Funktionalanalysis KW - Funktionentheorie KW - Numerische Mathematik KW - Kegelgebiet KW - unstetige Koeffizientenfunktionen KW - gewichtete Sobolevräume KW - Singulärfunktionen KW - conical domain KW - discontinuous coefficient functions KW - weighted Sobolev spaces KW - singular functions Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-34544 ER - TY - THES A1 - Baumann, Markus T1 - Newton's Method for Path-Following Problems on Manifolds T1 - Das Newton-Verfahren für Verfolgungsprobleme auf Mannigfaltigkeiten N2 - Many optimization problems for a smooth cost function f on a manifold M can be solved by determining the zeros of a vector field F; such as e.g. the gradient F of the cost function f. If F does not depend on additional parameters, numerous zero-finding techniques are available for this purpose. It is a natural generalization however, to consider time-dependent optimization problems that require the computation of time-varying zeros of time-dependent vector fields F(x,t). Such parametric optimization problems arise in many fields of applied mathematics, in particular path-following problems in robotics, recursive eigenvalue and singular value estimation in signal processing, as well as numerical linear algebra and inverse eigenvalue problems in control theory. In the literature, there are already some tracking algorithms for these tasks, but these do not always adequately respect the manifold structure. Hence, available tracking results can often be improved by implementing methods working directly on the manifold. Thus, intrinsic methods are of interests that evolve during the entire computation on the manifold. It is the task of this thesis, to develop such intrinsic zero finding methods. The main results of this thesis are as follows: - A new class of continuous and discrete tracking algorithms is proposed for computing zeros of time-varying vector fields on Riemannian manifolds. This was achieved by studying the newly introduced time-varying Newton Flow and the time-varying Newton Algorithm on Riemannian manifolds. - Convergence analysis is performed on arbitrary Riemannian manifolds. - Concretization of these results on submanifolds, including for a new class of algorithms via local parameterizations. - More specific results in Euclidean space are obtained by considering inexact and underdetermined time-varying Newton Flows. - Illustration of these newly introduced algorithms by examining time-varying tracking tasks in three application areas: Subspace analysis, matrix decompositions (in particular EVD and SVD) and computer vision. N2 - Das Optimieren einer glatten Kostenfunktion f auf einer Mannigfaltigkeit M kann oft dadurch erreicht werden, dass man die Nullstellen eines Vektorfeldes F bestimmt; z.B. dann, wenn F der Gradient von f ist. Für solche Problemstellungen gibt es zahlreiche Nullstellensuchmethoden, sofern F nicht von zusätzlichen Parametern abhängt. Es ist jedoch eine nahe liegende Erweiterung, zeitvariante Optimierungsaufgaben zu betrachten, für die dann Verfahren zur Berechnung der zeitvarianten Nullstelle von Vektorfeldern F(x,t) benötigt werden. Solche parametrisierte Optimierungsprobleme tauchen in vielen Teilgebieten der angewandten Mathematik auf, insbesondere Verfolgungsprobleme in der Robotik, rekursive Eigenwert- und Singulärwertbestimmung in der Signalverarbeitung sowie in der numerischen linearen Algebra und inverse Eigenwertprobleme in der Kontrolltheorie. In der Literatur gibt es bereits einige Nullstellen-Verfolgungsmethoden für solche Aufgaben. Jedoch wird dabei meistens nicht die Struktur der Mannigfaltigkeit hinreichend berücksichtigt, was aber wünschenswert wäre. Methoden, die direkt auf M arbeiten liefern nämlich andere und ggf. bessere Ergebnisse. Dies begründet unser Interesse an intrinsische Methoden, und es ist die zentrale Aufgabe dieser Arbeit, solche Methoden herzuleiten. Die Hauptergebnisse sind wie folgt: - Neue Klassen von diskreten und kontinuierlichen Methoden zur Verfolgung von Nullstellen von zeitvarianten Vektorfeldern auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten werden etabliert. Dazu wurden der zeitvariante Newton Fluss und der zeitvariante Newton Algorithmus auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten neu eingeführt und studiert. - Die Konvergenzanalyse wird auf beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten durchgeführt. - Die Ergebnisse werden durch Betrachtung von Untermannigfaltigkeiten konkretisiert. Dabei wird eine neue Klasse von Algorithmen hergeleitet, die lokalen Parametrisierungen der Mannigfaltigkeit nutzt. - Durch Betrachtung der Ergebnisse im euklidischen Raum werden diese zunächst weiter vereinfacht und dann um inexakte und unterbestimmte zeitvariante Verfahren erweitert. - Die neu eingeführten Algorithmen werden durch das ausführliche Studium von zeitvarianten Verfolgungsproblemen in drei Anwendungsgebieten veranschaulicht: Unterraumberechnung, Matrizenzerlegungen (insbesondere Diagonalisierung von Matrizen und Singulärwertzerlegung) und Bewegungsrekonstruktion aus Kamerabildern. KW - Dynamische Optimierung KW - Newton-Verfahren KW - Globale Analysis KW - Differentialgeometrie KW - Nullstelle KW - Unterraumsuche KW - Matrizenzerlegung KW - Riemannsche Mannigfaltigkeiten KW - Riemannian manifolds KW - time-varying KW - Newton's method KW - zero-finding KW - matrix decomposition Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28099 ER - TY - THES A1 - Pechmann, Patrick R. T1 - Penalized Least Squares Methoden mit stückweise polynomialen Funktionen zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen T1 - Penalized least squares methods with piecewise polynomial functions for solving partial differential equations N2 - Das Hauptgebiet der Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Differentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen durch Splinefunktionen dar. Partielle Differentialgleichungen finden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Manche Approximationsaufgaben besitzen keine eindeutige Lösung. Durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode wurde gezeigt, dass die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung von gewissen Minimierungsaufgaben sichergestellt werden kann. Unter Umständen lässt sich sogar eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewinnen. Für die numerischen Betrachtungen wurde ein umfangreiches, effizientes C-Programm erstellt, welches die Grundlage zur Bestätigung der theoretischen Voraussagen mit den praktischen Anwendungen bildete. N2 - This work focuses on approximating solutions of partial differential equations with Dirichlet boundary conditions by means of spline functions. The application of partial differential equations concerns the fields of electrostatics, elasticity, fluid flow as well as the analysis of the propagation of heat and sound. Some approximation problems do not have a unique solution. By applying the penalized least squares method it has been shown that uniqueness of the solution of a certain class of minimizing problems can be guaranteed. In some cases it is even possible to reach higher stability of the numerical method. For the numerical analysis we have developed an extensive and efficient C code. It serves as the basis to confirm theoretical predictions with practical applications. KW - Approximationstheorie KW - B-Spline KW - Dirichlet-Problem KW - Finite-Elemente-Methode KW - Partielle Differentialgleichung KW - Poisson-Gleichung KW - Spline KW - Penalized Least Squares Methode KW - Projektionssatz KW - Stückweise Polynomiale Funktion KW - Penalized Least Squares Method KW - Projection Theorem KW - Piecewise Polynomial Function Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28136 ER - TY - THES A1 - Gregor, Thomas T1 - {0,1}-Matrices with Rectangular Rule T1 - {0,1}-Matrizen mit Rechtecksregel N2 - The incidence matrices of many combinatorial structures satisfy the so called rectangular rule, i.e., the scalar product of any two lines of the matrix is at most 1. We study a class of matrices with rectangular rule, the regular block matrices. Some regular block matrices are submatrices of incidence matrices of finite projective planes. Necessary and sufficient conditions are given for regular block matrices, to be submatrices of projective planes. Moreover, regular block matrices are related to another combinatorial structure, the symmetric configurations. In particular, it turns out, that we may conclude the existence of several symmetric configurations from the existence of a projective plane, using this relationship. N2 - Die Inzidenzmatrizen vieler kombinatorischer Strukturen erfüllen die sogenannte Rechtecksregel, d.h. das Skalarprodukt zweier beliebiger Zeilen der Matrix ist höchstens 1. Weiterhin wird eine Klasse von Matrizen mit Rechtecksregel untersucht, von denen einige auch Untermatrizen von Inzidenzmatrizen endlicher projektiver Ebenen sind. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, wann dies der Fall ist. Darüberhinaus gibt es eine enge Beziehung zwischen dieser Klasse von Matrizen und einer anderen Struktur, den symmetrischen Konfigurationen. Es stellt sich unter anderem heraus, dass aus der Existenz einer projektiven Ebene mittels dieser Beziehung die Existenz verschiedener symmetrischer Konfigurationen gefolgert werden kann. KW - Projektive Ebene KW - Inzidenzmatrix KW - Kombinatorik KW - Endliche Geometrie KW - Symmetrische Konfiguration KW - (0 KW - 1)-Matrix KW - finite projective plane KW - incidence matrix KW - design KW - symmetric configuration KW - (0 KW - 1)-matrix Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28389 ER - TY - THES A1 - Jordan, Jens T1 - Reachable sets of numerical iteration schemes : a system semigroup approach T1 - Erreichbarkeitsmengen numerischer Iterations Schemata : ein Systemhalbgruppenansatz N2 - We investigate iterative numerical algorithms with shifts as nonlinear discrete-time control systems. Our approach is based on the interpretation of reachable sets as orbits of the system semigroup. In the first part we develop tools for the systematic analysis of the structure of reachable sets of general invertible discrete-time control systems. Therefore we merge classical concepts, such as geometric control theory, semigroup actions and semialgebraic geometry. Moreover, we introduce new concepts such as right divisible systems and the repelling phenomenon. In the second part we apply the semigroup approach to the investigation of concrete numerical iteration schemes. We extend the known results about the reachable sets of classical inverse iteration. Moreover, we investigate the structure of reachable sets and systemgroup orbits of inverse iteration on flag manifolds and Hessenberg varieties, rational iteration schemes, Richardson's method and linear control schemes. In particular we obtain necessary and sufficient conditions for controllability and the appearance of repelling phenomena. Furthermore, a new algorithm for solving linear equations (LQRES) is derived. N2 - Iterative numerische Algorithmen können als zeitdiskrete Systeme betrachtet werden. In dieser Arbeit werden Methoden der nichtlinearen Kontrolltheorie benutzt um iterative numerische Algorithmen zu analysieren. Hierzu wird ein Ansatz verfolgt der darauf basiert, dass Erreichbarkeitsmengen als Halbgruppenorbits interpretiert werden können. Im ersten Teil der Arbeit werden Werkzeuge zur systematischen Analyse von Erreichbarkeitsmengen allgemeiner nichtlinearer Kontrollsystme entwickelt. Dazu werden klassische Konzepte, wie geometrische Kontrolltheorie, Halbgruppenaktionen und semialgebraische Geometrie zusammengeführt. Desweiteren werden neue Konzepte, wie rechtszerlegbare Systeme und Abstoßungsphänomene, eingeführt. Im zweiten Teil der Arbeit werden diese Werkzeuge und dabei insbesondere der Halbgruppenansatz zur Untersuchung konkreter numerischer Algorithmen angewandt. Bekannte Ergebnisse über die Erreichbarkeitsmengen der klassischen inversen Iteration werden erweitert. Die Ergebnisse werden auf inverse Iteration auf Fahnenmannigfaltigkeiten und auf Hessenbergvarietäten erweitert. Untersucht wird zudem die Struktur der Erreichbarkeitsmengen der rationalen Iteration, der Richardsonmethode und von linearen Kontrollsystemen. Insbesondere werden notwendige sowie hinreichende Kriterien sowohl für Kontrollierbarkeit als auch für das Auftreten von Abstoßungsphänomenen bewiesen. Außerdem wird ein neuer Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme vorgestellt. KW - Nichtlineare Kontrolltheorie KW - Numerische Mathematik KW - Systemhalbgruppen KW - Inverse Iteration KW - Abstoßungsphänomen KW - Systemsemigroups KW - inverse Iteration KW - repelling phenomenon Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-28416 ER - TY - THES A1 - Harms, Nadja T1 - Primal and Dual Gap Functions for Generalized Nash Equilibrium Problems and Quasi-Variational Inequalities T1 - Primale und duale Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme und Quasi-Variationsungleichungen N2 - In this thesis we study smoothness properties of primal and dual gap functions for generalized Nash equilibrium problems (GNEPs) and finite-dimensional quasi-variational inequalities (QVIs). These gap functions are optimal value functions of primal and dual reformulations of a corresponding GNEP or QVI as a constrained or unconstrained optimization problem. Depending on the problem type, the primal reformulation uses regularized Nikaido-Isoda or regularized gap function approaches. For player convex GNEPs and QVIs of the so-called generalized `moving set' type the respective primal gap functions are continuously differentiable. In general, however, these primal gap functions are nonsmooth for both problems. Hence, we investigate their continuity and differentiability properties under suitable assumptions. Here, our main result states that, apart from special cases, all locally minimal points of the primal reformulations are points of differentiability of the corresponding primal gap function. Furthermore, we develop dual gap functions for a class of GNEPs and QVIs and ensuing unconstrained optimization reformulations of these problems based on an idea by Dietrich (``A smooth dual gap function solution to a class of quasivariational inequalities'', Journal of Mathematical Analysis and Applications 235, 1999, pp. 380--393). For this purpose we rewrite the primal gap functions as a difference of two strongly convex functions and employ the Toland-Singer duality theory. The resulting dual gap functions are continuously differentiable and, under suitable assumptions, have piecewise smooth gradients. Our theoretical analysis is complemented by numerical experiments. The solution methods employed make use of the first-order information established by the aforementioned theoretical investigations. N2 - In dieser Dissertation wurden die Glattheitseigenschaften von primalen und dualen Gap-Funktionen für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme (GNEPs) und Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) untersucht. Diese Gap-Funktionen sind Optimalwertfunktionen von primalen und dualen Umformulierungen eines GNEPs oder QVIs als restringiertes oder unrestringiertes Optimierungsproblem. Für gewisse Teilklassen von GNEPs (Spezialfall von `player convex' GNEPs) und QVIs (`generalized moving set case') sind diese primalen Gap-Funktionen überall stetig differenzierbar, für allgemeine GNEPs und QVIs jedoch nicht. Weitere Untersuchungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit ergaben, dass die primalen Gap-Funktionen unter geeigneten Bedingungen, abgesehen von Sonderfällen, in allen lokalen Minima der entsprechenden primalen Umformulierung differenzierbar sind. In dieser Dissertation wurden außerdem duale Gap-Funktionen für bestimmte Klassen von GNEPs und QVIs entwickelt, indem die primalen Gap-Funktionen basierend auf einer Idee von Dietrich (H. Dietrich: A smooth dual gap function solution to a class of quasivariational inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 235, 1999, pp. 380--393) als Differenz zweier gleichmäßig konvexer Funktionen dargestellt wurden und auf diese beiden Funktionen die Toland-Singer-Dualitätstheorie angewendet wurde. Es stellte sich heraus, dass diese dualen Gap-Funktionen stetig differenzierbar sind und unter geeigneten Bedingungen sogar stückweise stetig differenzierbare Gradienten besitzen. Die Ergebnisse in dieser Dissertation wurden durch numerische Berechnungen für diverse Testprobleme mittels bekannter Optimierungsverfahren erster Ordnung unterstützt. KW - Nash-Gleichgewicht KW - Dualitätstheorie KW - Nichtglatte Optimierung KW - Parametrische Optimierung KW - Spieltheorie KW - Generalized Nash equilibrium KW - Quasi-variational inequalities KW - DC optimization KW - Conjugate function KW - Dual gap function KW - Regularized gap function KW - Nikaido-Isoda function KW - Parametric optimization KW - Set-valued mapping KW - optimal solution mapping Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-106027 ER - TY - THES A1 - Oswald, Nicola T1 - Hurwitz's Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives T1 - Hurwitz' komplexe Kettenbrüche N2 - The thesis ’Hurwitz’s Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives.’ deals with two branches of mathematics: Number Theory and History of Mathematics. On the first glimpse this might be unexpected, however, on the second view this is a very fruitful combination. Doing research in mathematics, it turns out to be very helpful to be aware of the beginnings and development of the corresponding subject. In the case of Complex Continued Fractions the origins can easily be traced back to the end of the 19th century (see [Perron, 1954, vl. 1, Ch. 46]). One of their godfathers had been the famous mathematician Adolf Hurwitz. During the study of his transformation from real to complex continued fraction theory [Hurwitz, 1888], our attention was arrested by the article ’Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwicklung complexer Grössen’ [Hurwitz, 1895] from 1895 of an author called J. Hurwitz. We were not only surprised when we found out that he was the elder unknown brother Julius, furthermore, Julius Hurwitz introduced a complex continued fraction that also appeared (unmentioned) in an ergodic theoretical work from 1985 [Tanaka, 1985]. Those observations formed the Basis of our main research questions: What is the historical background of Adolf and Julius Hurwitz and their mathematical studies? and What modern perspectives are provided by their complex continued fraction expansions? In this work we examine complex continued fractions from various viewpoints. After a brief introduction on real continued fractions, we firstly devote ourselves to the lives of the brothers Adolf and Julius Hurwitz. Two excursions on selected historical aspects in respect to their work complete this historical chapter. In the sequel we shed light on Hurwitz’s, Adolf’s as well as Julius’, approaches to complex continued fraction expansions. Correspondingly, in the following chapter we take a more modern perspective. Highlights are an ergodic theoretical result, namely a variation on the Döblin-Lenstra Conjecture [Bosma et al., 1983], as well as a result on transcendental numbers in tradition of Roth’s theorem [Roth, 1955]. In two subsequent chapters we are concernced with arithmetical properties of complex continued fractions. Firstly, an analogue to Marshall Hall’s Theorem from 1947 [Hall, 1947] on sums of continued fractions is derived. Secondly, a general approach on new types of continued fractions is presented building on the structural properties of lattices. Finally, in the last chapter we take up this approach and obtain an upper bound for the approximation quality of diophantine approximations by quotients of lattice points in the complex plane generalizing a method of Hermann Minkowski, improved by Hilde Gintner [Gintner, 1936], based on ideas from geometry of numbers. N2 - Die Arbeit ’Hurwitz’s Complex Continued Fractions - A Historical Approach and Modern Perspectives.’ beschäftigt sich übergreifend mit zwei Teilbereichen der Mathematik: Zahlentheorie und Geschichte der Mathematik. Im ersten Teil wird ein historischer Blick auf das Leben und Wirken der Gebrüder Adolf und Julius Hurwitz gegeben. Insbesondere ihre akademische Laufbahn und ihr Einfluss auf die Entwicklung der komplexen Kettebruchtheorie werden beleuchtet. Im zweiten zahlentheoretischen Teil werden verschiedene Perspektiven auf Ergebnisse zur Approximationsgüte gegben. Hier stehen ein ergodentheoretisches Resultat, ein komplexes Analogon zur Döblin-Lenstra-Vermutung, im Vordergrund, sowie eine Verallgemeinerung auf Gitter. Aufbauend auf Methoden aus der ’Geometrie der Zahlen’ von Hermann Minkowski wird eine obere Approximationsschranke für allgemeine Gitter gegeben. KW - Adolf Hurwitz KW - Complex Continued Fractions KW - Julius Hurwitz KW - Brüder Hurwitz KW - Kettenbruch Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-106040 ER - TY - THES A1 - Staab, Patricia T1 - Geometrische Eigenschaften von Spiraltypflächen T1 - Geometrical Properties of Spiral Type Surfaces N2 - Spiraltypflächen sind Minimalflächen des dreidimensionalen euklidischen Raums, die sich durch hohe Symmetrie gegenüber komplexen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve auszeichnen. Ihren Namen verdanken Sie folgender Eigenschaft: Sie und ihre komplex Homothetischen sind die einzigen auf Spiralflächen abwickelbaren Minimalflächen. Bekannte Spiraltypflächen sind die Spiralminimalflächen (zugleich Minimal- und Spiralflächen) und die Bourflächen (auf Rotationsflächen abwickelbare Minimalflächen). Das Katenoid und die Enneperfläche sind spezielle Bourflächen. In dieser Arbeit werden die Spiraltypflächen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht. Wir stellen ihre Periodizitäten und Symmetrien fest und versuchen, ausgezeichnete Flächenkurven auf ihnen zu finden. Wir verwenden eine globale Weierstraß-Darstellung der Spiraltypflächen. In dieser Darstellung ergeben die Flächen eine Schar mit einem komplexen Scharparameter. Anhand dieser Darstellung leiten wir sämtliche Symmetrien der Spiraltypflächen zu linearen Ähnlichkeitsabbildungen der Minimalkurve her. Als Spezialfälle erhalten wir die Symmetrien unter Assoziationen und Derivationen (Drehung der Minimalkurve um einen imaginären Drehwinkel), sowie die reellen Symmetrien (Dreh-, Spiegel- und Strecksymmetrien). Unter den Spiraltypflächen gibt es nur zwei translationssymmetrische Flächen. Die Umorientierung einer Spiraltypfläche entspricht (bis auf komplexe Homothetie) dem Vorzeichenwechsel des Flächenparameters. Im Übrigen kann durch einfache Spiegelungen an den Koordinatenebenen beziehungsweise Drehungen um die Koordinatenachsen das Vorzeichen von Real- beziehungsweise Imaginärteil des Flächenparameters umgekehrt werden. Schließlich stellen wir noch ausgezeichnete Flächenkurven auf den Spiraltypflächen vor: Krümmungslinien, Asymptotenlinien und Geodätische, sowie als deren Verallgemeinerungen die Pseudokrümmungslinien und Pseudogeodätischen. N2 - Spiral type surfaces are minimal surfaces of the three-dimensional euclidean space, which are highly symmetric under similarity transformations of the corresponding complex minimal curve. They are named "spiral type" because these surfaces and their complex homothetics are the only minimal surfaces applicable to spiral surfaces. Well-known spiral type surfaces are the spiral minimal surfaces (which are both minimal and spiral) and the Bour surfaces (which are applicable to surfaces of revolution). The catenoid and the Enneper surface are Bour surfaces. In this paper we examine the geometrical properties of spiral type surfaces. We state their periodicities and symmetries and present special curves on these surfaces. We introduce a global Enneper-Weierstrass parameterization of the spiral type surfaces. Hence, the surfaces can be classified using a complex parameter. From this representation we can derive all symmetries under similarity transformations of the minimal curve. These symmetries contain the associations and derivations (i. e. rotations by imaginary angles) of minimal curves and the real mappings (especially rotations, reflections and central dilations). There are only two spiral type surfaces which are symmetric under translations. A change of orientation of a spiral type surface is equivalent to a combination of complex homothety and negation of the surface parameter. Anyway the sign of the real and imaginary part of the surface parameter can be changed by a simple reflection in a coordinate plane or a rotation around a coordinate axis. Finally we present special curves on spiral type surfaces: lines of curvature, asymptotic curves, geodesics, and the generalizations: pseudo curvature lines and pseudo geodesics. KW - Spiraltypfläche KW - Symmetrie KW - Minimalflächen KW - Minimalkurven KW - Spiraltypflächen KW - Spiralflächen KW - mittlere Krümmung KW - Derivation KW - Symmetrien KW - Pseudogeodätische KW - Minimal surfaces KW - minimal curves KW - spiral type surfaces KW - spiral surfaces KW - mean curvature KW - derivation KW - symmetries KW - pseudo geodesics Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3727 ER - TY - THES A1 - Baumeister, Joachim T1 - Agile development of diagnostic knowledge systems T1 - Agile Entwicklung von Wissensbasierten Diagnosesystemen N2 - The success of diagnostic knowledge systems has been proved over the last decades. Nowadays, intelligent systems are embedded in machines within various domains or are used in interaction with a user for solving problems. However, although such systems have been applied very successfully the development of a knowledge system is still a critical issue. Similarly to projects dealing with customized software at a highly innovative level a precise specification often cannot be given in advance. Moreover, necessary requirements of the knowledge system can be defined not until the project has been started or are changing during the development phase. Many success factors depend on the feedback given by users, which can be provided if preliminary demonstrations of the system can be delivered as soon as possible, e.g., for interactive systems validation the duration of the system dialog. This thesis motivates that classical, document-centered approaches cannot be applied in such a setting. We cope with this problem by introducing an agile process model for developing diagnostic knowledge systems, mainly inspired by the ideas of the eXtreme Programming methodology known in software engineering. The main aim of the presented work is to simplify the engineering process for domain specialists formalizing the knowledge themselves. The engineering process is supported at a primary level by the introduction of knowledge containers, that define an organized view of knowledge contained in the system. Consequently, we provide structured procedures as a recommendation for filling these containers. The actual knowledge is acquired and formalized right from start, and the integration to runnable knowledge systems is done continuously in order to allow for an early and concrete feedback. In contrast to related prototyping approaches the validity and maintainability of the collected knowledge is ensured by appropriate test methods and restructuring techniques, respectively. Additionally, we propose learning methods to support the knowledge acquisition process sufficiently. The practical significance of the process model strongly depends on the available tools supporting the application of the process model. We present the system family d3web and especially the system d3web.KnowME as a highly integrated development environment for diagnostic knowledge systems. The process model and its activities, respectively, are evaluated in two real life applications: in a medical and in an environmental project the benefits of the agile development are clearly demonstrated. N2 - Wissensbasierte Diagnosesysteme konnten in den letzten Jahrzehnten sehr erfolgreich eingesetzt werden. Intelligente Systeme sind heute in den verschiedensten Domainen zu finden, werden in komplexe Maschinen eingebettet oder interaktiv im Dialog mit dem Benutzer verwendet. Trotz aller Erfolge ist die Entwicklung eines Wissenssystems immer noch eine komplexe Aufgabe. Dies ist darin begründet, dass ähnlich zu der Erstellung von Individual-Software mit einem hohen innovativen Grad eine präzise Spezifikation zu Anfand des Projekt häufig nicht gegeben werden kann. Vielmehr können notwendige Faktoren, welche den Erfolg des Systems maßgeblich bestimmen, nicht vor der Entwicklung identifiziert werden oder sind Änderungen während der Entwicklungsphase unterworfen. Viele Einflussfaktoren können hierbei nur in Rückkopplung mit dem Benutzer abgewogen werden, welches durch vorläufige Versionen des Systems in frühen Stadien ermöglicht werden kann, z.B. bei interaktiven Systemen durch eine Validierung des Dialoges durch den Benutzer. Diese Arbeit stellt heraus, dass klassische, dokument-zentrierte Ansätze in einem solchen Umfeld nicht anwendbar sind, und schlägt ein agiles Vorgehensmodell zur Entwicklung von wissensbasierten Diagnosesystemen als Lösung vor. Das agile Vorgehensmodell wurde wesentlich durch Ideen des im Software Engineering bekannten eXtreme Programming beeinflusst. Als wichtigstes Ziel dieser Arbeit wird die Vereinfachung des Entwicklungsprozesses für den Fachexperten verfolgt, der im Idealfall das benötigte Wissen selbst formalisiert. Dabei wird der Entwicklungsprozess auf einer übergeordneten Ebene durch die Einführung von Wissenscontainern unterstützt, welche eine organisierte Übersicht auf das im System enthaltene Wissen bieten. Weiterhin werden strukturierte Vorgehensweisen für das Füllen der jeweiligen Container empfohlen. Das tatsächliche Wissen wird von Beginn des Projekts an erfasst und formalisiert; eine kontinuierliche Integration von neuen Wissensinhalten in ein lauffähiges System sorgt für eine frühe und konkrete Rückkopplung mit dem Benutzer. Im Gegensatz zu den verwandten Prototyping Ansätzen wird die Validität und Wartbarkeit des erfassten Wissens durch geeignete Test- und Restrukturierungsmethoden sichergestellt. Zusätzlich werden angepasste Lernmethoden diskutiert, welche den Wissensakquisitionsprozess in vielen Bereichen ergänzen können. Die praktische Bedeutung des Vorgehensmodells ist stark mit der Verfügbarkeit von Werkzeugen verknüpft, welche den Fachexperten bei der Entwicklung direkt unterstützen können. Es wird daher die Systemfamilie d3web und im Speziellen die integrierte Entwicklungsumgebung d3web.KnowME vorgestellt. Das Vorgehensmodell und seine Aktivitäten werden in zwei Praxis-Anwendungen, einem medizinischen und einem geo-ökologischen Projekt, evaluiert. KW - Wissensakquisition KW - Wissensentwicklung KW - Wartung KW - Validation KW - Refaktorisierung KW - knowledge engineering KW - knowledge acquisition KW - maintenance KW - validation KW - refactoring Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-9698 ER - TY - THES A1 - Kraus, Daniela T1 - Conformal pseudo-metrics and some applications T1 - Konforme Pseudo-Metriken und einige Anwendungen N2 - The point of departure for the present work has been the following free boundary value problem for analytic functions $f$ which are defined on a domain $G \subset \mathbb{C}$ and map into the unit disk $\mathbb{D}= \{z \in \mathbb{C} : |z|<1 \}$. Problem 1: Let $z_1, \ldots, z_n$ be finitely many points in a bounded simply connected domain $G \subset \mathbb{C}$. Show that there exists a holomorphic function $f:G \to \mathbb{D}$ with critical points $z_j$ (counted with multiplicities) and no others such that $\lim_{z \to \xi} \frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}=1$ for all $\xi \in \partial G$. If $G=\mathbb{D}$, Problem 1 was solved by K?nau [5] in the case of one critical point, and for more than one critical point by Fournier and Ruscheweyh [3]. The method employed by K?nau, Fournier and Ruscheweyh easily extends to more general domains $G$, say bounded by a Dini-smooth Jordan curve, but does not work for arbitrary bounded simply connected domains. In this paper we present a new approach to Problem 1, which shows that this boundary value problem is not an isolated question in complex analysis, but is intimately connected to a number of basic open problems in conformal geometry and non-linear PDE. One of our results is a solution to Problem 1 for arbitrary simply connected domains. However, we shall see that our approach has also some other ramifications, for instance to a well-known problem due to Rellich and Wittich in PDE. Roughly speaking, this paper is broken down into two parts. In a first step we construct a conformal metric in a bounded regular domain $G\subset \mathbb{C}$ with prescribed non-positive Gaussian curvature $k(z)$ and prescribed singularities by solving the first boundary value problem for the Gaussian curvature equation $\Delta u =-k(z) e^{2u}$ in $G$ with prescribed singularities and continuous boundary data. This is related to the Berger-Nirenberg problem in Riemannian geometry, the question which functions on a surface R can arise as the Gaussian curvature of a Riemannian metric on R. The special case, where $k(z)=-4$ and the domain $G$ is bounded by finitely many analytic Jordan curves was treated by Heins [4]. In a second step we show every conformal pseudo-metric on a simply connected domain $G\subseteq \mathbb{C}$ with constant negative Gaussian curvature and isolated zeros of integer order is the pullback of the hyperbolic metric on $\mathbb{D}$ under an analytic map $f:G \to \mathbb{D}$. This extends a theorem of Liouville which deals with the case that the pseudo-metric has no zeros at all. These two steps together allow a complete solution of Problem 1. Contents: Chapter I contains the statement of the main results and connects them with some old and new problems in complex analysis, conformal geometry and PDE: the Uniformization Theorem for Riemann surfaces, the problem of Schwarz-Picard, the Berger-Nirenberg problem, Wittich's problem, etc.. Chapter II and III have preparatory character. In Chapter II we recall some basic results about ordinary differential equations in the complex plane. In our presentation we follow Laine [6], but we have reorganized the material and present a self-contained account of the basic features of Riccati, Schwarzian and second order differential equations. In Chapter III we discuss the first boundary value problem for the Poisson equation. We shall need to consider this problem in the most general situation, which does not seem to be covered in a satisfactory way in the existing literature, see [1,2]. In Chapter IV we turn to a discussion of conformal pseudo-metrics in planar domains. We focus on conformal metrics with prescribed singularities and prescribed non-positive Gaussian curvature. We shall establish the existence of such metrics, that is, we solve the corresponding Gaussian curvature equation by making use of the results of Chapter III. In Chapter V we show that every constantly curved pseudo-metric can be represented as the pullback of either the hyperbolic, the euclidean or the spherical metric under an analytic map. This is proved by using the results of Chapter II. Finally we give in Chapter VI some applications of our results. [1,2] Courant, H., Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Physik, Erster/ Zweiter Band, Springer-Verlag, Berlin, 1931/1937. [3] Fournier, R., Ruscheweyh, St., Free boundary value problems for analytic functions in the closed unit disk, Proc. Amer. Math. Soc. (1999), 127 no. 11, 3287-3294. [4] Heins, M., On a class of conformal metrics, Nagoya Math. J. (1962), 21, 1-60. [5] K?nau, R., L?gentreue Randverzerrung bei analytischer Abbildung in hyperbolischer und sph?ischer Geometrie, Mitt. Math. Sem. Giessen (1997), 229, 45-53. [6] Laine, I., Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, de Gruyter, Berlin - New York, 1993. N2 - Der Ausgangspunkt dieser Arbeit war das folgende freie Randwertproblem f? analytische Funktionen $f$, die auf einem Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ definiert sind und in den Einheitskreis $\mathbb{D}= \{z \in \mathbb{C} : |z|<1 \}$ abbilden. Problem 1: Es seien $z_1, \ldots, z_n$ endlich viele Punkte in einem beschr?kten einfach zusammenh?genden Gebiet $G \subset \mathbb{C}$. Existiert eine holomorphe Funktion $f:G \to \mathbb{D}$, die genau und nur in $z_j$ kritische Punkte (mit Vielfachheiten gez?lt) besitzt und $\lim_{z \to \xi} \frac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}=1$ f? alle $\xi \in \partial G$ erf?lt. F? $G=\mathbb{D}$ wurde Problem 1 von K?nau [5] im Fall eines kritischen Punktes gel?t und f? mehr als einen kritischen Punkt von Fournier and Ruscheweyh [3]. Die Methode, die von K?nau, Fournier and Ruscheweyh benutzt wurde, l?st sich auf allgemeinere Gebiete $G$ ?ertragen, aber nicht auf beliebige beschr?kte einfach zusammenh?gende Gebiete. In dieser Arbeit wird ein Zugang zu Problem 1 dargestellt, der das Randwertproblem der Komplexen Analysis mit einer Reihe offener Probleme in der Konformen Geometrie und der Theorie nicht-linearer PDE in Zusammenhang bringt. Insbesondere wird Problem 1 f? beliebige einfach zusammenh?gende Gebiete gel?t. Es wird gezeigt, dass der gew?lte Zugang weitere Verzweigungen aufweist, z.B. zu einem wohlbekannten Problem von Rellich und Wittich in PDE. Die Arbeit besteht aus zwei Hauptteilen. In einem ersten Schritt werden konforme Metriken in einem beschr?kten regul?en Gebiet $G \subset \mathbb{C}$ mit vorgeschriebener nicht-positiver Gau?cher Kr?mung $k(z)$ und vorgeschriebenen Singularit?en konstruiert, indem das erste Randwertproblem f? die Gau?che Kr?mungsgleichung $\Delta u=-k(z) e^{2u}$ in $G$ mit vorgeschriebenen Singularit?en und stetigen Randwerten gel?t wird. Dies steht in Zusammenhang mit dem Berger-Nirenberg Problem, der Frage, welche Funktionen auf einer Riemannschen Fl?he R als Gau?che Kr?mung einer Riemannschen Metrik auf R auftreten k?nen. Der Spezialfall, dass $k(z)=-4$ und das Gebiet $G$ durch endlich viele analytische Jordankurven berandet ist, wurde von Heins [4] gel?t. In einem zweiten Schritt wird gezeigt, dass jede konforme Pseudo-Metrik auf einem einfach zusammenh?genden Gebiet $G \subseteq \mathbb{C}$ mit konstanter negativer Gau?cher Kr?mung und isolierten Nullstellen ganzzahliger Ordnung die Zur?kholung der hyperbolischen Metrik auf $\mathbb{D}$ unter einer holomorphen Funktion $f:G \to \mathbb{D}$ ist. Dies erweitert einen Satz von Liouville, der den Fall einer nullstellenfreien Pseudo-Metrik behandelt. Die beschriebenen zwei Schritte l?en Problem 1 vollst?dig. Inhaltsangabe: Kapitel I enth?t die Ergebnisse der Arbeit und stellt den Zusammenhang mit alten und neuen Problemen in Komplexer Analysis, Konformer Geometrie, und PDE dar: dem Uniformisierungssatz f? Riemannsche Fl?hen, dem Problem von Schwarz-Picard, dem Berger-Nirenberg Problem, Wittichs Problem, etc.. In Kapitel II wird an grundlegende Ergebnisse gew?nlicher Differentialgleichungen in der komplexen Ebene erinnert. Die Darstellung folgt Laine [6]. Das Material ist reorganisiert und enth?t eine Auflistung der wichtigsten Gesichtspunkte von Riccati und Schwarzschen Differentialgleichungen sowie Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In Kapitel III wird das erste Randwertproblem f? die Poisson Gleichung diskutiert. Es wird in gr秤ter Allgemeinheit betrachtet, da es scheinbar in der vorhandenen Literatur nicht in einer befriedigenden Weise behandelt wird, siehe [1,2]. In Kapitel IV werden Pseudo-Metriken in ebenen Gebieten diskutiert. Im Mittelpunkt stehen Metriken mit vorgeschriebenen Singularit?en und vorgeschriebener nicht-positiver Gau?cher Kr?mung. Die Existenz solcher Metriken wird mithilfe der Ergebnisse aus Kapitel III bewiesen. In Kapitel V wird gezeigt, dass sich jede Pseudo-Metrik konstanter Kr?mung als Zur?kholung der hyperbolischen, der euklidischen oder der sph?ischen Metrik unter einer analytischen Funktion darstellen l?st. Hierf? werden die Ergebnisse aus Kapitel II herangezogen. Einige Anwendungen der Ergebnisse befinden sich in Kaptil VI. [1,2] Courant, H., Hilbert, D., Methoden der Mathematischen Physik, Erster/ Zweiter Band, Springer-Verlag, Berlin, 1931/1937. [3] Fournier, R., Ruscheweyh, St., Free boundary value problems for analytic functions in the closed unit disk, Proc. Amer. Math. Soc. (1999), 127 no. 11, 3287-3294. [4] Heins, M., On a class of conformal metrics, Nagoya Math. J. (1962), 21, 1-60. [5] K?nau, R., L?gentreue Randverzerrung bei analytischer Abbildung in hyperbolischer und sph?ischer Geometrie, Mitt. Math. Sem. Giessen (1997), 229, 45-53. [6] Laine, I., Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, de Gruyter, Berlin - New York, 1993. KW - Freies Randwertproblem KW - Pseudometrik KW - konforme Pseudo-Metriken KW - freies Randwertproblem KW - Darstellung vonPseudo-Metriken KW - Poisson Gleichung KW - erstes Randwertproblem in PDE KW - conformal pseudo-metrics KW - representation of pseudo-metrics KW - Poisson equation KW - first boundary value problem in PDE Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-9193 ER - TY - THES A1 - Nagel, Christian T1 - Glättungsverfahren für semidefinite Programme T1 - Smoothing-type Methods for Semidefinite Programs N2 - In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung von linearen semidefiniten Programmen beschrieben. Unter einer geeigneten Regularitätsvoraussetzung ist ein semidefinites Programm äquivalent zu seinen Optimalitätsbedingungen. Die Optimalitätsbedingungen bzw. die Zentralen-Pfad-Bedingungen überführen wir zunächst durch matrixwertige NCP-Funktionen in ein nichtlineares Gleichungssystem. Dieses nichtlineare und teilweise nicht differenzierbare Gleichungssystem lösen wir dann mit einem Newton-ähnlichen Verfahren. Durch die Umformulierung in ein nichtlineares Gleichungssystem muss während der Iteration nicht mehr explizit die positive (Semi-)Definitheit der beteiligten Matrizen beachtet werden. Weiter wird gezeigt, dass dieser Ansatz im Gegensatz zu Inneren-Punkte-Methoden sofort symmetrische Suchrichtungen erzeugt. Um globale Konvergenz zu erhalten, werden verschiedene Globalisierungsstrategien (Schrittweitenbestimmung, Trust-Region-Ansatz) untersucht. Für das betrachtete Prädiktor-Korrektor-Verfahren und das Trust-Region-Verfahren wird lokal superlineare Konvergenz unter strikter Komplementarität und Nichtdegeneriertheit gezeigt. Die theoretische Untersuchung eines nichtglatten Newton-Verfahrens liefert ein lokal quadratisches Konvergenzverhalten ohne strikte Komplementarität, wenn die Nichtdegeneriertheitsvoraussetzung geeignet modifiziert wird. N2 - In this thesis we consider algorithms to compute a solution of linear semidefinite programs. Under a suitable regularity condition a semidefinite program is equivalent to its optimality conditions. These optimality conditions, or central-path-conditions, are reformulated as a nonlinear system of equations via matrix-valued NCP-functions. This nonlinear and partly nonsmooth system of equations is solved with a Newton-type method. Because of the reformulation as a nonlinear system of equations, we do not need the iterates to be positive (semi-)definite. Moreover, this reformulation automatically computes symmetric search directions, in contrast to interior point methods. To obtain global convergence, different globalizations (line search, trust-region) are considered. For the predictor-corrector method and the trust-region-method global and local superlinear convergence is shown under strikt complementarity and nondegeneracy. The theoretical investigation of a nonsmooth version of Newton's methods yields locally quadratic convergence without strict complementarity if the nondegeneracy conditon is modified in a suitable way. KW - Semidefinite Optimierung KW - Semidefinite Programme KW - Newton-Verfahren KW - Glättungsverfahren KW - NCP-Funktionen KW - semidefinite programming KW - Newton's method KW - smoothing-type methods KW - NCP-functions Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-8099 ER - TY - THES A1 - Fleischmann, Peter T1 - Bildung reiner Hüllen in vollständig zerlegbaren torsionsfreien abelschen Gruppen T1 - Pure subgroups of completely decomposable torsionfree abelian groups N2 - Reine Untergruppen von vollständig zerlegbaren torsionsfreien abelschen Gruppen werden Butlergruppen genannt. Eine solche Gruppe läßt sich als endliche Summe von rationalen Rang-1-Gruppen darstellen. Eine solche Darstellung ist nicht eindeutig. Daher werden Methoden entwickelt, die zu einer Darstellung mit reinen Summanden führen. Weiter kann aus dieser Darstellung sowohl die kritische Typenmenge als auch die Typuntergruppen direkt abgelesen werden. Dies vereinfacht die Behandlung von Butlergruppen mit dem Computer und gestattet darüberhinaus eine elegantere Darstellung. N2 - A pure subgroup of a completely decomposable torsion free abelian group is called Butler group. These groups can be represented as sum of rational subgroups. A representation with pure summands is developed, such that the critical typeset can be read off and every type-subgroup can be represented as sum of these summands. KW - Torsionsfreie Abelsche Gruppe KW - Abelsche Gruppe KW - Hüllenbildung KW - Reine Untergruppen KW - torsionsfreie abelsche Gruppen KW - pure subgroups KW - torsionfree abelian groups Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-5979 ER - TY - THES A1 - Preiß, Martin T1 - Analytizitätseigenschaften gewichteter zentraler Pfade bei monotonen Komplementaritätsproblemen und ihre Ausnutzung T1 - Analyticity properties of weighted central paths arising with monotone complementarity problems and their exploitation N2 - Die vorliegende Arbeit untersucht die Analytizitätseigenschaften unzulässiger Innerer-Punkte Pfade bei monotonen Komplementaritätsproblemen und diskutiert mögliche algorithmische Anwendungen. In Kapitel 2 werden einige matrixanalytische Konzepte und Resultate zusammengestellt, die für die Beweisführung in den folgenden Kapiteln benötigt werden. Kapitel 3 gibt eine genaue Definition der Begriffe "monotones lineares Komplementaritätsproblem" (LCP) bzw. "semidefinites monotones lineares Komplementaritätsproblem" (SDLCP) und zeigt die Grundidee hinter den Innere-Punkte-Verfahren zur Lösung solcher Probleme. Kapitel 4 beinhaltet die analytischen Hauptresultate für monotone Komplementaritätsprobleme. In Abschnitt 4.1 werden einige wohlbekannte Resultate über die Analytizitätseigenschaften unzulässiger Innerer-Punkte-Pfade für LCP's wiedergegeben. Diese werden in Abschnitt 4.2 auf den semidefiniten Fall übertragen. Unter der Annahme, dass das zugrundeliegende SDLCP eine strikt komplementäre Lösung besitzt, wird gezeigt, dass die Inneren-Punkte-Pfade sogar noch im Randpunkt analytisch sind. Kapitel 5 benutzt die Resultate aus Kapitel 4, um die lokal hohe Konvergenzordnung einer Langschrittmethode zur Lösung von SDLCP's zu zeigen. Kapitel 6 führt eine neue Methode zur Lösung von LCP's und SDLCP's mit Hilfe von Inneren-Punkte-Techniken ein. Dabei werden die Pfadfunktionen derart gewählt, dass alle Iterierten auf unzulässigen zentralen Pfaden liegen. Es wird globale und lokale Konvergenz des Verfahrens bewiesen. N2 - This thesis investigates the analyticity properties of infeasible interior point paths arising with monotone complementarity problems and discusses possible algorithmic applications. Chapter 2 summarizes some matrix analytical concepts and results that are needed for the proofs in the following chapters. Chapter 3 defines the terms "monotone linear complementarity problem" (LCP) and "semidefinite monotone linear complementarity problem" (SDLCP) exactly and shows the basic concept behind interior point methods for solving them. Chapter 4 contains the main analytical results for monotone complementarity problems. After repeating some well-known results on the analyticity properties of infeasible interior point paths for LCP's in section 4.1 these results are extended to the semidefinite case in section 4.2. Under the assumption that the underlying SDLCP has a strictly complementary solution it is shown that the interior point paths are analytical even at the boundary point. Chapter 5 uses the results of chapter 4 to show the locally high order of convergence of a long step method for solving SDLCP's. Chapter 6 introduces a new method for solving LCP's and SDLCP's respectively using interior point techniques. Here, the path functions are chosen in such a way that all the iterates are lying on infeasible central paths. Global and local convergence proofs are given. KW - Innere-Punkte-Methode KW - Innere-Punkte-Verfahren KW - unzulässige Innere-Punkte-Pfade KW - semidefinite Komplementaritätsprobleme KW - analytische Fortsetzung KW - Langschrittmethoden KW - interior point methods KW - infeasible interior point paths KW - semidefinite complementarity problems KW - analytical continuation KW - long step methods Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3969 ER - TY - THES A1 - Bletz-Siebert, Oliver T1 - Homogeneous spaces with the cohomology of sphere products and compact quadrangles T1 - Homogene Räume mit der Kohomologie von Sphärenprodukten und kompakte Vierecke N2 - We consider homogeneous spaces G/H with the same rational homotopy as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. We show that these spaces have also the rational cohomology of such a sphere product if H is connected and if the quotient has dimension m+2. Furthermore, we prove that if additionally the fundamental group of G/H is cyclic, then G/H is locally a product of a 1-torus and ofA/H, where A/H is a simply connected rational cohomology (m+1)-sphere (and hence classified). If H fails to be connected, then with U as the connected component of H the G-action on the covering space G/U of G/H has connected stabilizers, and the results apply to G/U. To show that under the assumptions above every natural number may be realized as the order of the group of connected components of H we calculate the cohomology of certain homogeneous spaces. We also determine the rational cohomology of the fibre bundle U-->G-->G/U if G/H meets the assumptions above. This is done by considering the respective Leray-Serre spectral sequence. The structure of the cohomology of U-->G-->G/U then gives a second proof for the structure of compact connected Lie groups acting transitively on spaces with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere. Since a quotient of a homogeneous space with the same rational homotopy or cohomology as a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere is not simply connected, there often arises the question whether or not a considered fibre bundle or fibration is orientable. A large amount of space will therefore be given to the problem of showing that certain fibrations are orientable. For compact connected (m+2)-manifolds with cyclic fundamental groups and with the rational homotopy of a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere we show the following: if a connected Lie group acts transitively on the manifold, then the maximal compact subgroups are either transitive, or their orbits are simply connected rational cohomology spheres of codimension 1. Homogeneous spaces with the same rational cohomology or homotopy as a a product of a 1-sphere and a (m+1)-sphere play a role in the study of different types of geometrical objects. They appear for example as focal manifolds of isoparametric hypersurfaces with four distinct principal curvatures. Further examples of such spaces are the point spaces and the line spaces of compact connected generalized quadrangles. We determine the isometry groups of isoparametric hypersurfaces with 4 principal curvatures of multiplicities 1 and m which are transitive on the focal manifold with non-trivial fundamental group. Buildings were introduced by Jacques Tits to give interpretations of simple groups of Lie type. They are a far-reaching generalization of projective spaces, in particular a generalization of projective planes. There is another generalization of projective planes called generalized polygons. A projective plane is the same as a generalized triangle. The generalized polygons are also contained in the class of buildings: they are the buildings of rank 2. To compact quadrangles one can assign a pair of natural numbers called the topological parameters of the quadrangles. We treat the case k=1. It turns out that there are no other point-transitive compact connected Lie groups for (1,m)-quadrangles than the ones for the real orthogonal quadrangles. Furthermore, we solve the problem of three infinite series of group actions which Kramer left as open problems; there are no quadrangles with the homogeneous spaces in question as point spaces (up to maybe a finite number of small parameters in one of the three series). N2 - Es werden homogene Räume G/H mit der rationalen Homotopie von Produkten von einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre untersucht. Die Ergebnisse werden auf kompakte Vierecke (das sind die sphärischen kompakten Tits-Gebäude vom Typ C2) und auf isoparametrische Hyperflächen angewandt. Wir zeigen, dass die obigen homogenen Räume auch die rationale Kohomologie des jeweiligen Sphärenprodukts haben, falls H zusammenhängend ist und der Quotient die Dimension m+2 besitzt. Die Kohomologie gewisser homogener Räume wird bestimmt, um zu zeigen, dass die Gruppe der Komponenten von H jede beliebige natürliche Zahl als Ordnung besitzen kann. Falls die Fundamentalgruppe von G/H zyklisch ist, dann ist G/H lokal von der Form Tx(A/H) mit einer eindimensionalen Torusgruppe T und einer homogenen einfach-zusammenhängenden rationalen (m+1)-Kohomologiesphäre A/H; letztere sind klassifiziert. Wir bestimmen mit Hilfe der Leray-Serre-Spektralsequenz auch die rationale Kohomologie des Faserbündels U-->G-->G/U für die Zusammenhangskomponente U von H. Ein Quotient mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre ist nicht einfach zusammenhängend. Deshalb tritt häufig die Frage auf, ob gewisse Faserungen orientierbar sind. Diesem Bereich wird viel Raum gewidmet. Wirkt eine Liegruppe transitiv auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit endlicher Fundamentalgruppe, dann wirkt nach einem Ergebnis von Montgomery auch jede maximale kompakte Untergruppe noch transitiv. Dies ist im Allgemeinen falsch für unendliche Fundamentalgruppen. Aber hier wird gezeigt: Wirkt eine zusammenhängende Liegruppe transitiv auf einer kompakten (m+2)-dimensionalen Mannigfaltigkeit mit zyklischer Fundamentalgruppe und mit der rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre und einer (m+1)-Sphäre, dann sind die maximalen kompakten Untergruppen transitiv oder ihre Bahnen sind alle einfach zusammenhängende rationale (m+1)-Kohomologiesphären. Diese topologischen Ergebnisse werden auf zwei verschieden Arten von geometrischen Objekten angewandt, nämlich auf Fokalmannigfaltigkeiten isoparametrischer Hyperflächen und auf Punkträume kompakter verallgemeinerter Vierecke. Isoparametrische Hyperflächen in Sphären sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten mit konstanten Hauptkrümmungen. Wir wenden unsere obigen Resultate an und bestimmen die transitiven isometrischen Wirkungen auf einer Fokalmannigfaltigkeit, falls es vier Hauptkrümmungen gibt und die Fokalmannigfaltigkeit die rationalen Homotopie eines Produktes einer 1-Sphäre mit einer (m+1)-Sphäre besitzt. Viele kompakte zusammenhängende Polygone gestatten eine transitive Wirkung ihrer Automorphismengruppe auf ihrem Punkt- oder Geradenraum. Wegen der Dualität der Rolle von Punkt- und Geradenraum genügt es Punkt-homogene Vierecke zu betrachten. Einem Punkt-homogenen kompakten zusammenhängenden Viereck lässt sich ein Paar (k,m) natürlicher Zahlen zuordnen, die topologischen Parameter des Viereck. Wir behandeln hier den Fall k=1. Es zeigt sich, dass es keine anderen Punkt-transitive Liegruppen gibt als diejenigen für die reellen orthogonalen Vierecke. Zusätzlich beweisen wir, dass es für drei bestimmte Serien von homogenen Räumen (für die die Frage, ob sie zu verallgemeinerten Vierecken gehören, ein offenes Problem war) keine entsprechenden Vierecke mit den homogenen Räumen als Punkträumen gibt. KW - Homogener Raum KW - Kohomologie KW - homogene Raüme KW - Kohomologie KW - Liegruppen KW - verallgemeinerte Vierecke KW - Gebäude KW - homogeneous spaces KW - cohomology KW - Lie groups KW - generalized quadrangles KW - buildings Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3994 ER - TY - THES A1 - Grahl, Jürgen T1 - Blochsches Prinzip, Lückenreihen und Semidualität T1 - Bloch's Principle, Gap Power Series and Semiduality N2 - Ein bekanntes heuristisches Prinzip von A. Bloch beschreibt die Korrespondenz zwischen Kriterien für die Konstanz ganzer Funktionen und Normalitätskriterien. In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir die Gültigkeit des Blochschen Prinzip bei Lückenreihenproblemen sowie Zusammenhänge zwischen Normalitätsfragen und der Semidualität von einer bzw. von zwei Funktionen. Die ersten beiden Kapitel stellen die im folgenden benötigten Hilfsmittel aus der Nevanlinnaschen Wertverteilungstheorie und der Normalitätstheorie bereit. Im dritten Kapitel beweisen wir ein neues Normalitätskriterium für Familien holomorpher Funktionen, für die ein Differentialpolynom einer bestimmten Gestalt nullstellenfrei ist. Dies verallgemeinert frühere Resultate von Hayman, Drasin, Langley und Chen & Hua. Kapitel 4 ist dem Beweis eines unserer im folgenden wichtigsten Hilfsmittel gewidmet: eines tiefliegenden Konvergenzsatzes von H. Cartan über Familien von p-Tupeln holomorpher nullstellenfreier Funktionen, welche einer linearen Relation unterliegen. In Kapitel 5 werden die Konzepte der Dualität und Semidualität eingeführt und die Verbindung zu Normalitätsfragen diskutiert. Die neuen Ergebnisse über Lückenreihen finden sich im sechsten Kapitel. Der Schwerpunkt liegt hierbei zum einen auf sog. AP-Lückenreihen, zum anderen auf allgemeinen Konstruktionsverfahren, mit denen sich neue semiduale Lückenstrukturen aus bereits bekannten gewinnen lassen. Zahlreiche unserer Beweise beruhen wesentlich auf dem Satz von Cartan aus Kapitel 4. Im siebten Kapitel erweitern wir unsere Semidualitätsuntersuchungen auf Mengen aus zwei Funktionen. Wir ziehen Normalitätskriterien (vor allem das in Kapitel 3 bewiesene sowie den Satz von Cartan) heran, um spezielle Mengen als nichtsemidual zu identifizieren. Zuletzt konstruieren wir ein Beispiel einer semidualen Menge aus zwei Funktionen. N2 - A well-known heuristic principle by A. Bloch describes the correspondence between criteria for an entire function being constant and normality criteria. In this thesis we investigate Bloch's Principle in the context of gap power series and connections between normality questions and the question of semiduality of a single function or a set of two functions. The first two chapters provide necessary tools from Nevanlinna's Theory of value distribution and from normality theory. In the third chapter we prove a new normality criterion for families of analytic functions for which a differential polynomial of a certain type is nonvanishing. This extends former results of Hayman, Drasin, Langley and Chen & Hua. Chapter 4 is devoted to the proof of a tool essential for our further investigations: a deep convergence theorem of H. Cartan about families of p-tuples of zero-free analytic functions satisfying a linear relation. In chapter 5 we introduce the concepts of duality and semiduality and discuss connections to normality questions. Our new results on gap power series can be found in chapter 6. Here we focus on so-called AP-gaps and on general methods how to construct new semidual gap structures from already known semidual gap structures. Cartan's Theorem as stated in chapter 4 is crucial for proving most of these results. In chapter 7 we extend our considerations to the question whether sets consisting of two functions are semidual or not. We apply suitable normality criteria (in particular the criterion proved in chapter 3 and Cartan's Theorem) to identify special sets as non-semidual. Finally, we construct an example of a semidual set consisting of two functions. KW - Blochsches Prinzip KW - Semidualtität KW - Lückenreihe KW - Blochsches Prinzip KW - Semidualität KW - Dualität KW - Faltung KW - Lückenreihen KW - normale Familien KW - Satz von Cartan KW - Bloch's Principle KW - semiduality KW - duality KW - convolution KW - gap power series KW - normal families KW - Cartan's Theorem Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3477 ER - TY - THES A1 - Wolfrom, Martin T1 - Isoparametric hypersurfaces with a homogeneous focal manifold T1 - Isoparametrische Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit N2 - The classification of isoparametric hypersurfaces in spheres with a homogeneous focal manifold is a project that has been started by Linus Kramer. It extends results by E. Cartan and Hsiang and Lawson. Kramer does most part of this classification in his Habilitationsschrift. In particular he obtains a classification for the cases where the homogeneous focal manifold is at least 2-connected. Results of E. Cartan, Dorfmeister and Neher, and Takagi also solve parts of the classification problem. This thesis completes the classification. We classify all closed isoparametric hypersurfaces in spheres with g>2 distinct principal curvatures one of whose multiplicities is 2 such that the lower dimensional focal manifold is homogeneous. The methods are essentially the same as in Kramer's 'Habilitationsschrift'. The cohomology of the focal manifolds in question is known. This leads to two topological classification problems, which are also solved in this thesis. We classify simply connected homogeneous spaces of compact Lie groups with the same integral cohomology ring as a product of spheres S^2 x S^m and m odd on the one hand and a truncated polynomial ring Q[a]/(a^m) with one generator of even degree and m > 1 as its rational cohomology ring on the other hand. N2 - Die Klassifikation der isoparametrischen Hyperflächen mit einer homogenen Fokalmannigfaltigkeit ist ein Projekt, das von Linus Kramer initiiert wurde. Es verallgemeinert Ergebnisse von E. Cartan und von Hsiang und Lawson. Kramer vollzieht den Großteil dieser Klassifikation in seiner Habilitationsschrift. Genauer gesagt, erhält er eine Klassifikation für die Fälle, in denen die homogene Fokalmannigfaltigkeit mindestens 2-zusammenhängend ist. Ergebnisse von E. Cartan, von Dorfmeister und Neher und von Takagi lösen ebenfalls Teile des Problems. Diese Dissertation schließt die Klassifikation ab. Wir klassifizieren alle abgeschlossenen isoparametrischen Hyperflächen in Sphären mit g>2 verschiedenen Hauptkrümmungen, deren eine Vielfachheit 2 ist, wobei die der Dimension nach kleinere Fokalmannigfaltigkeit homogen ist. Die Methoden sind im Wesentlichen die gleichen wie in Kramers Habilitationsschrift. Die Kohomologie der fraglichen Fokalmannigfaltigkeiten ist bekannt. Dies führt zu zwei topologischen Klassifikationsproblemen, die ebenfalls in dieser Dissertation gelöst werden. Wir klassifizieren einfach zusammenhängende homogene Räume kompakter Lie-Gruppen, welche einerseits den gleichen ganzzahligen Kohomologiering haben wie ein Sphären-Produkt S^2 x S^m, m ungerade, oder andererseits einen abgeschnittenen Polynomring Q[a]/(a^m) in einem Erzeuger von geradem Grad und m>1 als Kohomologiering haben. KW - Isoparametrische Hyperfläche KW - Sphäre KW - Fokalmannigfaltigkeit KW - Klassifikation KW - Homogener Raum KW - Kompakte Lie-Gruppe KW - Kohomologie Y1 - 2002 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-3505 ER - TY - THES A1 - Joachim, Silvia T1 - Regulatorketten in Butlergruppen T1 - Regulator Chains of Butler Groups N2 - Die fast vollständig zerlegbaren Gruppen bilden eine Teilklasse der Butlergruppen. Das Konzept des Regulators, d.h. der Durchschnitt aller regulierenden Untergruppen, ist unverzichtbar für fast vollständig zerlegbare Gruppen. Dieses Konzept lässt sich in natürlicher Weise auf die ganze Klasse der Butlergruppen fortsetzen. Allerdings lässt sich die Regulatorbildung im allgemeineren Fall der Butlergruppen a priori iterieren. Damit stellt sich erst einmal die Frage, ob es überhaupt Butlergruppen gibt mit Regulatorketten, der Länge größer als 1. Ein erstes Beispiel der Länge 2 wurde 1997 von Lehrmann und Mutzbauer konstruiert. In dieser Dissertation wurden mit konzeptionell neuen Techniken Butlergruppen mit beliebiger vorgegebener endlicher Kettenlänge angegeben. Grundsätzliche Schwierigkeiten bei diesem Unterfangen resultieren aus dem Fehlen, bzw. der Unmöglichkeit, einer kanonischen Darstellung von Butlergruppen. Man verwendet die allseits gebrauchte Summendarstellung für Butlergruppen. Genau an dieser Stelle bedarf es völlig neuer Methoden, verglichen mit den fast vollständig zerlegbaren Gruppen mit ihrer kanonischen Regulatordarstellung. Alle Teilaufgaben bei der anstehenden Konstruktion von Butlergruppen, die für fast vollständig zerlegbare Gruppen Standard sind, werden hierbei problematisch, u.a. die Bildung reiner Hüllen, die Bestimmung regulierender Untergruppen und die Regulatorbildung. N2 - The almost completely decomposable groups form a subclass of the Butler groups. The concept of a regulator, i. e., the intersection of all regulating subgroups, is inevitable for almost completely decomposable groups. This concept can be transferred and continued to the whole class of Butler groups in a natural way. However, forming the regulator for Butler groups usually allows proper iteration. Thus, the primary question is, if there are any Butler groups at all with longer regulator chains, the length longer than 1. A first example of length 2 was constructed by Lehrmann and Mutzbauer in 1997. In this doctoral dissertation Butler groups were constructed of an arbitrarily given finite chain length, using conceptually new techniques. Basic difficulties resulted from the lack, or respectively, the impossibility, of any canonical descriptions of Butler groups. Usually Butler groups are given by the so called sum representation. Precisely here completely new methods are necessary to be applied, compared with the almost completely decomposable groups and their canonical regulator representation. All detailed tasks for the indicated construction of Butler groups, which are standard for almost completely decomposable groups, become problematic, among other things the forming of pure hulls, the determination of regulating subgroups, and the construction of the regulator. KW - Butlergruppe KW - Regulator KW - Butlergruppe KW - regulierende Untergruppen KW - Regulator KW - Butler group KW - regulating subgroup KW - regulator Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-10438 ER - TY - THES A1 - Kurniawan, Indra T1 - Controllability Aspects of the Lindblad-Kossakowski Master Equation : A Lie-Theoretical Approach T1 - Kontrollierbarkeitsaspekte der Lindblad-Kossakowski Master-Gleichung : Ein Lie-theoretischer Ansatz N2 - One main task, which is considerably important in many applications in quantum control, is to explore the possibilities of steering a quantum system from an initial state to a target state. This thesis focuses on fundamental control-theoretical issues of quantum dynamics described by the Lindblad-Kossakowski master equation which arises as a bilinear control system on some underlying real vector spaces, e.g controllability aspects and the structure of reachable sets. Based on Lie-algebraic methods from nonlinear control theory, the thesis presents a unified approach to control problems of finite dimensional closed and open quantum systems. In particular, a simplified treatment for controllability of closed quantum systems as well as new accessibility results for open quantum systems are obtained. The main tools to derive the results are the well-known classifications of all matrix Lie groups which act transitively on Grassmann manifolds, and respectively, on real vector spaces without the origin. It is also shown in this thesis that accessibiity of the Lindblad-Kossakowski master equation is a generic property. Moreover, based on the theoretical accessibility results, an algorithm is developed to decide when the Lindblad-Kossakowski master equation is accessible. N2 - Eine Hauptaufgabe, mit zahlreichen wichtigen Anwendungen in dem Gebiet der Quantenkontrolle, ist die Untersuchung der Möglichkeit zur Steuerung eines quantenmechanischen Systems von einem Anfangszustand zum einem Zielszustand. Diese Arbeit konzentriert sich auf die grundlegenden kontrolltheoretischen Fragen, wie z.B solche zur Erreichbarkeits- und Kontrollierbarkeit, über quantendynamische Systeme, die durch die Lindblad-Kossakowski Master Gleichungen beschrieben werden. Diese Gleichungen bilden bilineare Kontrollsysteme auf einem reellen Vektorraum. Basierend auf Lie-algebraische Methoden der nicht-linearen Kontrolltheorie, wird in dieser Arbeit ein vereinheitlichter Zugang präsentiert um die kontrolltheoretischen Fragen in endlichdimensionalen, geschlossenen wie offenen Quantensystemen zu beantworten. Insbesondere, werden eine vereinfachte Verarbeitung der Kontrollierbarkeitsfragen geschlossener Systeme sowie neue Ergebnisse zur Frage der Zugänglichkeit offener Systeme ausgearbeitet. Der Hauptansatz, um dieser Ergebnisse abzuleiten, besteht in der bekannten Klassifizierung aller Matrix-Lie Gruppen, die auf Grassmann Mannigfaltigkeiten bzw. reellen Vektorräumen ohne Ursprung, transitiv operieren. In dieser Arbeit, werden auch generische Eigenschaften zur Zugänglichkeit der Lindblad-Kossakowski Master Gleichung ausgeführt. Ferner wird, mit Hilfsmittel von theoretischer Ergebnisse, ein Algorithmus zur Bestimmung der Zugänglichkeit der Lindblad-Kossakowski Master Gleichung entwickelt. KW - Kontrolltheorie KW - Quantenmechanisches System KW - Master-Gleichung KW - Lie-Gruppe KW - Controllability KW - Blinear Quantum Control Systems KW - Lindblad-Kossakowski Master Equation KW - Transitive Lie Groups Y1 - 2009 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:20-opus-48815 ER -